DERIVADAS IMPLSITAS

DERIVADAS



















Derivadas implícitas
Se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

Por ejemplo:
[pic] define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
Unode los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante despejar [pic], o lo que es lo mismo despejar y’.
si tenemos y^3+2xy+x=x^2 este es una ecuación implícita ya que no se puede despejar y.
para derivada implícitamente esta ecuación derivamos los dos lados de la ecuación (osea del igual)así:
(y^3+2xy+x)'=(x^2)'
la derivada de una suma es igual a la sumas de las derivadas
(y^3)'=3y^2y'
(2xy)=(2x)'y+2x(y')=2y+2xy'
(x)'=1
(x^2)=2x
entonces tenemos
3y^2y'+2y+2xy'+1=2x
los que tiene prima se pone de un lado del igual y los que no se pone del otro lado así:
3y^2y'+2xy'=2x-2y-1
se despeja y'
y'(3y^2+2x)=2x-2y-1
se pasa (3y^2+2x) a dividir y nos queday'=(2x-2y-1)/(3y^2+2x) esta es la derivada












REGLA de lh’opital
Es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pourl'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo ó .[2] [3] [4] []
Ejemplos
Sean f y g dos funcionesdefinidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,


Derivada
Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. Laderivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobreuna magnitud.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintostramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función enun punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial....