Derivadas parciales

CÁLCULO II
DERIVADAS PARCIALES

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DERIVADAS DE FUNCIONES EN DOS VARIABLES

En funciones de una variable independiente, la derivada representa la tasa de cambio o razón de cambio instantánea de la variable dependiente respecto a la que se opera en la variable independiente. En funciones de dos variables independientes, también es posible definir derivadas. En este caso, el estudio secentra en las que se conocen como Derivadas Parciales , que representan la tasa instantánea o razón de cambio instantánea en la variable dependiente, pero con respecto a los cambios de las dos variables independientes, tomadas por separado.

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En una función z = f ( x, y ) , puede calcularse una derivada parcial respecto a cada variable independiente.

La derivada parcial tomada respecto a lavariable con: ∂z o f
x

x

se denota

∂x

La derivada parcial tomada respecto a la variable con:

y

se denota

∂z ∂y

o

fy
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Definición Derivada Parcial.-

En la función z = f ( x, y ) , la derivada parcial de respecto a en ( x, y ) se define como:

x

z

f ( x + h, y ) − f ( x , y ) f x = Lim h →0 h

, a condición que exista el límite.

La derivada parcial derespecto a

z

y

en ( x, y ) es: , a condición que exista el límite.
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f ( x, y + h ) − f ( x, y ) f y = Lim h →0 h

Geométricamente las derivadas parciales de una función

z = f ( x, y ) , se muestran en la siguiente figura:

Fuente: “Cálculo, para Administración, Economía y Ciencias Sociales”, Bradley and Hoffmann

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Veamos el siguiente ejemplo:

Calcule las derivadasparciales f x y f y , de la función:

z = f ( x, y ) = 3 x 2 + 5 y 3

Desarrollo.-

3( x + h) 2 + 5 y 3 − (3x 2 + 5 y 3 ) f ( x + h, y ) − f ( x , y ) = Lim f x = Lim h →0 h →0 h h

3( x 2 + 2 xh + h 2 ) + 5 y 3 − 3 x 2 − 5 y 3 6 xh + 3h 2 = Lim = Lim h →0 h →0 h h

h(6 x + 3h) = Lim = Lim (6 x + 3h) = 6 x h →0 h →0 h
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Ahora desarrollaremos la derivada parcial con respecto a y :3x 2 + 5( y + h) 3 − (3 x 2 + 5 y 3 ) f ( x, y + h ) − f ( x, y ) = Lim f y = Lim h →0 h →0 h h

3 x 2 + 5( y 3 + 3 y 2 h + 3 yh 2 + h 3 ) − 3 x 2 − 5 y 3 15hy 2 + 15h 2 y + 5h 3 = Lim = Lim h →0 h →0 h h

h(15 y 2 + 15hy + 5h 2 ) = Lim = Lim 15 y 2 + 15hy + 5h 2 h →0 h →0 h

= 15y 2

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Por fortuna, las derivadas parciales se obtienen más fácilmente empleando las mismas reglas dediferenciación utilizadas para funciones de una variable independiente.

La única excepción es que, cuando se encuentra una derivada parcial respecto a una variable independiente, se supone que se mantiene constante la otra.
f ( x, y ) = e x
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Veamos el siguiente ejemplo: si

+ y2

, entonces:

∂( x 2 + y 2 ) ∂ (e ∂( x 2 ) ∂( y 2 ) ) x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 =e ⋅ + =e ⋅ =e ⋅ (2 x + 2 ⋅ 0 )fx = ∂x ∂x ∂x ∂x
x2 + y2

x2 + y 2

Luego:

fx = e

⋅ (2 x ) (en este caso

y es constante)

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Ahora calculamos la otra derivada parcial:

∂( x 2 + y 2 ) ∂ (e ∂( x 2 ) ∂( y 2 ) ) x2 + y2 x2 + y 2 x2 + y2 =e ⋅ + =e ⋅ =e ⋅ (2 ⋅ 0 + 2 y ) fy = ∂y ∂y ∂y ∂y
x2 + y2

x2 + y2

Luego:

fy = e

⋅ (2 y ) (en este caso x es constante)

Ejercicio:
2 3

Dada la función deproducción Q( K , L) = 70 ⋅ K determine las siguientes derivadas parciales:

⋅L

1

3

,

∂Q = QK ∂K

∂Q = QL y ∂L
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Desarrollo: Si Q( K , L) = 70 ⋅ K ⋅ L 3 , se tiene:
3 2 1

2 ∂Q = QK = 70 ⋅ ⋅ K 3 ∂K
−1

140 L 3 3 ⋅L 3 = ⋅ 1 3 K 3
1 2

1

Ahora, bien la otra derivada parcial es:
2 3

1 ∂Q = QL = 70 ⋅ ⋅ K 3 ∂L ⋅L
3 −2

70 K 3 = ⋅ 2 3 L3

Más adelante, veremos queestas derivadas parciales en una función de producción del tipo Cobb-Douglas son importantes como razones de cambio para los niveles de producción.
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Funciones de Producción Marginales de Coob-Douglas

Supongamos que tenemos una función de Producción del tipo Coob-Douglas Q( K , L) = A ⋅ K α ⋅ L1−α , definida en el capítulo de Funciones en dos variables. ∂Q ∂Q = QL Luego, las derivadas...