Derivadas parciales

´ ´ APUNTES DE AMPLIACION DE MATEMATICAS II PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACIONES Elaborados por Arturo de Pablo, Domingo Pestana y Jos´ Manuel Rodr´ e ıguez

2.
2.1.
2.1.1.

M´todo de separaci´n de variables e o
Separaci´n de variables o
Introducci´n o

Un operador lineal es una aplicaci´n que satisface o L(k1 v1 + k2 v2 ) = k1 L(v1 ) + k2 L(v2 ) para todas las funciones v1 , v2 yconstantes k1 , k2 . Una ecuaci´n lineal en u es una ecuaci´n de la forma o o L(u) = f, (2.1)

donde L es un operador lineal y f es conocida. Si f = 0, entonces (2.1) se transforma en L(u) = 0, que se denomina ecuaci´n lineal homog´nea. o e 2.1.2. El problema de la conducci´n del calor en una varilla con temperatura cero en los o extremos

El m´todo de separaci´n de variables permite tratarecuaciones en derivadas parciales lineales hoe o mog´neas, cuyas condiciones iniciales y de contorno sean lineales. Vamos a ilustrar dicho m´todo mediante e e un ejemplo. Consideremos la ecuaci´n del calor en una varilla unidimensional 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0, con todos o los coeficientes constantes y datos de contorno cero, es decir, la ecuaci´n en derivadas parciales o ∂2u ∂u = k 2, ∂t ∂x con la condici´ninicial o u(x, 0) = f (x), y con las condiciones de contorno nulas u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0. (2.4) 0 < x < L, (2.3) 0 < x < L, t > 0, (2.2)

El m´todo de separaci´n de variables consiste en buscar soluciones que sean de la forma e o u(x, t) = ϕ(x)T (t), (2.5)

donde ϕ(x) es una funci´n que depende s´lo de x y T (t) es una funci´n que depende s´lo de t. La o o o o funci´n definida en (2.5)debe cumplir la ecuaci´n en derivadas parciales lineal homog´nea (2.2) y las o o e condiciones de contorno homog´neas (2.4). No impondremos de momento la condici´n inicial (2.3) a e o u(x, t) = ϕ(x)T (t). Sustituyendo esta u(x, t) = ϕ(x)T (t) en la ecuaci´n del calor (2.2) se obtiene: o ϕ(x) d2 ϕ dT = k 2 T (t). dt dx (2.6)

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Si dividimos los dos miembros de (2.6) por kϕ(x)T (t), obtenemos:1 dT 1 d2 ϕ = . kT dt ϕ dx2 Podemos ver que las variables est´n separadas en el sentido de que el lado izquierdo es una funci´n que a o depende s´lo de t y el lado derecho es una funci´n que depende s´lo de x. Por tanto, ambos lados de la o o o f´rmula deben ser constantes, y escribiremos: o 1 d2 ϕ 1 dT = = −λ, kT dt ϕ dx2 (2.7)

donde λ es una constante arbitraria. Por supuesto, podr´ ıamoshaber elegido escribir λ en lugar de −λ, pero as´ quedar´n los c´lculos m´s “bonitos”. ı a a a La ecuaci´n (2.7) se desglosa en dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una para ϕ(x) y la otra para o T (t): d2 ϕ = −λϕ, (2.8) dx2 dT = −λkT. (2.9) dt Tengamos presente que λ es una constante y que es la misma en las dos ecuaciones (2.8) y (2.9). Como las soluciones u(x, t) = ϕ(x)T (t) deben cumplirtambi´n las dos condiciones de contorno homog´neas, e e de u(0, t) = 0 deducimos que ϕ(0)T (t) = 0. Si T (t) es id´nticamente cero para todo t, llegaremos a la e soluci´n trivial u(x, t) ≡ 0 que no nos interesa; por tanto, tendremos que pedir: o ϕ(0) = 0. La otra condici´n de contorno u(L, t) = 0, permite obtener de forma similar: o ϕ(L) = 0. (2.11) (2.10)

La funci´n ϕ(x) debe cumplir la ecuaci´ndiferencial ordinaria (2.8) y las condiciones de contorno (2.10) o o y (2.11). La funci´n T (t) debe cumplir la ecuaci´n diferencial ordinaria (2.9). o o La ecuaci´n diferencial ordinaria (EDO) de T (t), dependiente del tiempo t, es: o dT = −λkT, dt cuya soluci´n es: o T (t) = ce−λkt , (2.12)

Veremos ahora que no existen soluciones no triviales (no id´nticamente cero) de (2.13) para todos los evalores de λ, sino que s´lo hay algunos valores de λ, llamados autovalores, para los que existen soluciones o 7

donde c es una constante arbitraria. La funci´n ϕ(x), dependiente de la variable espacial x, satisface lo que se denomina un problema de o contorno, es decir, una EDO de segundo orden con dos condiciones de contorno:  2  d ϕ = −λϕ,   dx2 (2.13) ϕ(0) = 0,    ϕ(L) = 0.

no...