Derivadas Parciales

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición: Una función f de dos variables definida sobre un dominio D del plano es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) en D, un número real único denotado por f(x, y).

f ( x, y , z )

Domf

Gráfica de la función f(x, y)

Domf

Curvas de nivel

Ejemplo 2 La función f ( x) = x 2 − y 2 tiene por gráfica a: Curvas denivel

Consideremos ahora la superficie

z 2 x2 y 2 − − =1 c2 a 2 b2

(3)

Las trazas en el plano ZY y en XZ son hipérbolas y el plano XY son elipses. Su eje es el eje z. Esta superficie recibe el nombre de hiperboloide de dos hojas. A continuación se muestra la superficie de ecuación:

z 2 y2 x2 − − =1 4 9 16

Hiperboloide de dos hojas

ECUACIONES PARA PLANOS EN EL ESPACIOSUPONGAMOS QUE EL PLANO M PASA POR EL PUNTO P0(X0,Y0,Z0) Y ES PERPENDICULAR (NORMAL ) AL VECTOR NO NULO n = (a, b, c) = ai + bj + ck. ENTONCES M ES EL
CONJUNTO DE TODOS LOS PUNTOS

P(X, Y, Z) PARA LOS CUALES

uuur n. ES DECIR P SE ENCUENTRA SOBRE M SI Y SÓLO SI n . P0 P = 0
EQUIVALENTE A:

uuur P0 P ES ORTOGONAL A

ESTA ECUACIÓN ES

( ai + bj + ck ) . ( x − x0 ) i + ( y − y0 ) j + ( z −z0 ) k  = 0  
a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0

ECUACIÓN DEL PLANO EQUIVALENTE A:

ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0 ax + by + cz = d d = ax0 + by0 + cz0

EJEMPLO 1 Encuentra una ecuación para el plano que pasa por P0 (-3, 0, 7) perpendicular a n = 5i + 2 j - k Solución : Usando la ecuación a ( x - x0 ) + b ( y - y0 ) + c ( z - z0 ) = 0 ⇒ 5 ( x + 3) + 2 ( y − 0 ) − ( z − 7 )= 0 ⇒ 5 x + 2 y − z = −22 Esta es la ecuación del plano

EJEMPLO 2 Un plano determinado por tres puntos Encuentre el plano que pasa por A(0, 0,1), B(2, 0, 0) y C (0,3, 0) Solución : uuu r uuur AB = ( 2, 0, −1) AC = ( 0,3, −1) uuu uuuu r r n = AB x AC i j k

Plano: 3x+2y+6z=6

n = 2 0 −1 = 0i + 0 j + 6k + 3i + 2 j + 0k 0 3 −1 n = 3i + 2 j + 6k Ecuación del plano : 3( x − 0) + 2( y − 0) + 6( z− 1) = 0 ⇒ 3x + 2 y + 6 z = 6

EJEMPLO 3

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO ENCUENTRE LA DISTANCIA DE S(1,1,3) AL PLANO 3X+2Y+6Z=6 SOLUCIÓN PRIMERO DETERMINAMOS UN PUNTO DEL PLANO P ( x0 , y0 , z0 ) PARA X=0 Y Y=0 OBTENEMOS Z= 1. ASÍ EL PUNTO P(0,0,1) ESTÁ EN EL PLANO

D=

a ( x1 − x0 ) + b( y1 − y0 ) + c ( z1 − z0 ) a +b +c
2 2 2

=

ax1 + by1 + cz1 + d a 2 + b2 + c2

D=

3 (1 −0 ) + 2(1 − 0) + 6 ( 3 − 1) 32 + 22 + 62

=

17 7

EJEMPLO 4: ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS

EL ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS QUE SE INTERSECAN SE DEFINE COMO EL ÁNGULO (AGUDO)
DETERMINADO POR SUS VECTORES NORMALES.

ENCONTRAR EL ÁNGULO ENTRE LOS PLANOS

3x − 6 y − 2 z = 15

y

2x + y − 2z = 5

Solución n1 = (3, −6, −2) y n2 = (2,1, −2)   n1.n2  3.2 + ( −6 ) .1 + ( −2 )( −2 ) −1 −1  θ= cos   n n  = cos  2  2 2 2  1 2  3 + ( −6 ) + ( −2 ) 22 + 12 + ( −2 )   4 θ = cos   = 79, 020  21 
−1

   

NOTACIÓN PARA DERIVADAS PARCIALES

2.- Encuentre los valores

∂f ∂f y ∂x ∂y

en el punto (-4 ,5) si f ( x, y ) = x 2 + 3 xy + y − 1

SOLUCION ∂f = 2x + 3y dx ∂f ( −4,5) = −8 + 15 = 7 dx

∂f = 3x + 1 dy ∂f ( −4,5) = −12 + 1 = −11 dx

3. − Encuentre ∂f∂f y si f ( x, y ) = ln( x 2 + y ) dx dy SOLUCION ∂f 2x = 2 dx x + y y ∂f 1 = 2 dy x + y

4. − Encuentre f x SOLUCION −3 y fx = 2 ( x + cos y )

si

f ( x, y ) =

3y x + cos y

5. − Encuentre f x si f ( x, y ) = SOLUCION : 2 y sin x fx = 2 ( y + cos x )

2y y + cos x

6.- Encuentre las primeras derivadas parciales a.- f(x, y,z,t)= xy 2 z 3t 4 b.- u = x
y z

c.- u = xe-t senθ d.-w = ln ( x + 2y + 3z ) e.- w = r 2 + s 2 +t 2 f.- f ( x, y,z ) = x 2 e yz g.- f ( x, y,z ) = xy 2 z 3 + 3yz

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL DE f : R 2 → R
Para dar una interpretación geométrica de las derivadas parciales, recordamos que la gráfica de la función z = f ( x, y ) define una superficie explícita S . Si
z0 = f ( x0 , y0 ) entonces el punto ( x0 , y0 , z0 ) está...