Derivadas parciales

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta ¿Cómo afectaría al valor de una función un cambio en una de sus variables independientes? Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químicopodría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, mientras mantiene constante las otras variables como temperatura y presión. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función f respecto a una de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llama derivación parcial y el resultado se llama derivadaparcial de f con respecto a la variable elegida.

Definición de las derivadas parciales de una función de dos variables
Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función
z  f ( x, y ) con respecto a la variable independiente x al siguiente límite, si existe y es finito:
z f ( x   x, y )  f ( x, y )  lim  x 0 x x

(1)

el cual se calcula suponiendoy constante.

Se llama derivada parcial de una función z  f ( x, y ) con respecto a la variable independiente y al siguiente límite, si existe y es finito:
z f ( x, y  y )  f ( x, y )  lim  y 0 y y

(2)

el cual se calcula suponiendo x constante.

Notación de las derivadas parciales Si z  f ( x, y ) , entonces sus derivadas parciales respecto a x y y se expresan, serespectivamente, en las formas siguientes:

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1

z f    f x ( x, y )  f ( x, y )  Dx [ f ( x, y )]  D1 f ( x, y ) x x x z f    f y ( x, y )  f ( x, y )  D y [ f ( x, y )]  D2 f ( x, y ) y y y
Ejemplo 1.- Aplique la definición de derivada parcial para calcular D1 f ( x, y ) y D2 f ( x, y ) si

f ( x, y )  3x 2  2 xy  y 2 .
Solución

D1f ( x, y )  lim

f ( x  x, y )  f ( x, y ) x  0 x 2 3( x  x )  2( x  x )y  y 2  ( 3x 2  2 xy  y 2 )  lim x  0 x 2 2 3x  6 xx  3( x )  2 xy  2 yx  y 2  3x 2  2 xy  y 2  lim x  0 x 2 6 xx  3( x )  2 yx  lim  lim 6 x  3x  2 y x  0 x  0 x  6x  2 y

D2 f ( x, y )  lim  lim  lim  lim

y 0

f ( x, y  y )  f ( x, y ) y

3x 2  2 x( y y )  ( y  y )2  ( 3x 2  2 xy  y 2 ) y 0 y

3x 2  2 xy  2 xy  y 2  2 yy  ( y )2  3x 2  2 xy  y 2 y 0 y

2 xy  2 yy  ( y )2 y 0 y  lim ( 2 x  2 y  y )  2 x  2 y
y 0

Ejemplo 2.- Calcular D1 f ( x, y ) y D2 f ( x, y ) si f ( x, y )  2 x 2 y  xy 2  x  5 y Solución

D1 f ( x, y )  lim

f ( x  x, y )  f ( x, y ) x 0 x ( 2( x  x )2 y ( x  x )y 2  ( x  x )  5 y )  ( 2 x 2 y  xy 2  x  5 y )  lim x 0 x 2 2 4 xyx  2( x )  y x  x  lim  lim 4 xy  2x  y 2  1 x 0 x 0 x 2  4 xy  y  1

En forma similar que D2 f ( x, y )  2 x 2  2 xy  5 .

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2

Nota Para calcular las derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que según la ecuación (1) laderivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de f con respecto a x manteniendo fija la variable y. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente. REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE z  f ( x, y ) 1. Para determinar f x , conservar a y constante y derivar f ( x, y) con respecto a x . 2. Para determinar f y , conservar a x constante y derivar f ( x, y) conrespecto a y . Ejemplo 1 Dada la función z definida por z  ( x  y )e Solución
z x y 2 2 x y 2 3 x y  2 xe  ( x  y )(  ye )  ( 2 x  x y  y )e x z x y 2 2 x y 3 2 x y  2 ye  ( x  y )(  xe )  ( 2 y  x  xy )e y
2 2 x y

. Hallar

 z y

y

 z x

.

Ejemplo 2 Hallar y evaluar las derivadas parciales de f ( x, y)  xe

x y

2

. Hallar f x , f y y evaluar a...