Derivadas

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Problemas de derivadas y Máximos y Mínimos.
Ejemplo 1. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) = x2 en el punto (2, 4) Solución. La recta cuya pendiente buscamos se muestra en la figura. Es claro que tiene una pendiente positiva grande. y f ( 2 + h ) − f ( 2) m tan = lim 4 (2,4) h →0 h
h 4 + 4h + h 2 − 4 = lim h →0 h = lim

( 2 + h )2 − 22

3 2 1 y = x² -1 1 2 xh →0

= lim =4

h (4 + h) h

h →0

1. Problemas de Derivadas. Ejemplo 2. Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) = -x2+2x+2 en los puntos con coordenada x de –1,
1 , 2

2y3

Solución. En vez de hacer cuatro cálculos separados, parece acertado calcular la pendiente de abscisa c y obtener después las cuatro respuestas deseadas, por sustitución. f ( c + h ) − f ( 2)3 m tan = lim m= 1 h →0 h
= lim − ( c + h ) − 2 ( c + h ) + 2 − −c 2 + 2c + 2
2

(

)

2 1

m = -2

h →0

= lim

h ( −2c − h + 2 ) h

h
-1 m= 4 -1 -2 y = -x² + 2x + 2 1 2 3 m =-4

h →0

= − 2c + 2

Las cuatro pendientes deseadas (obtenidas al hacer x = –1,

1 , 2

2 y 3) son 4, 1, -2 y –4.

Estas respuestas parecen concordar con la gráfica de la figura. Ejemplo 3.Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = 1/x en (2, ½ ). Véase figura. Solución. Sea f(x) = 1/x..
m tan = lim f ( 2 + h ) − f ( 2) h
h →0

1 1 − = lim 2 + h 2 h →0 h 2 2+h − 2(2 + h) 2(2 + h) = lim h →0 h

Dr. José Luis Díaz Gómez. Módulo 7 del Cubículo #1. Departamento de Matemáticas

2
2 − (2 + h) 2(2 + h) h
y 3

= lim

h →0

= lim = lim

h →0 2

−h (2 + h)h −1 1 =− (2 + h) 4

2

y=

1 x

h →0 2

1

-1

1

2

3

x

Conociendo la pendiente de la recta (m= − ) y el punto (2, − ) de la misma, podemos escribir con facilidad su ecuación utilizando la forma punto pendiente y - y0 = m(x-x0). El resultado es y − = − (x − 2). Ejemplo 4. Encuentre la velocidad instantánea de un cuerpo que cae, partiendo del reposo, en los instantes t =3.8 y t = 5.4 segundos. Solución. Calculemos la velocidad instantánea para t = c segundos. Dado que f(t)=16t2, f (c + h ) − f (c) ν = lim h →0 h
h 16c + 32ch + 16h 2 − 16c 2 = lim h →0 h
2

1 4

1 2

1 2

1 4

= lim

16 ( c + h ) − 16c2
2

h →0

= lim ( 32c + 16h) = 32c )
h →0

Así, la velocidad instantánea a los 3.8 segundos es 32(3.8) = 121.6 pies por segundo; a los 5.4segundos es 32(5.4) = 172.8 pies por segundo. Ejemplo 5. ¿Cuánto tardará el cuerpo que cae en el ejemplo 4 en alcanzar una velocidad instantánea de 112 pies por segundo. Solución. Aprendimos en el ejemplo 4 que la velocidad instantánea después de c segundos es 32c. Entonces, podemos resolver la ecuación 32c = 112. La solución es
c= 112 = 3.5 32

segundos.

Ejemplo 6. Una partícula se mueve a lolargo del eje coordenado y s, su distancia en centímetros desde el origen al concluir t seg, está dada por s = f ( t ) = 5t + 1 . Encuentre la velocidad instantánea de la partícula al final de 3 segundos. Solución.

Dr. José Luis Díaz Gómez. Módulo 7 del Cubículo #1. Departamento de Matemáticas

3

ν = lim
= lim
= lim
h →0

f ( 3 + h) − f ( 3)

h →0

5 ( 3 + h ) + 1 − 5( 3 ) + 1 h16 + 5h − 4 h

h

h →0

Para evaluar este límite, racionalicemos el numerador (multiplicando numerador y 16 + 5h + 4 denominador por ). Obtenemos h ⎛ 16 + 5h − 4 16 + 5h + 4 ⎞ − ν = lim ⎜ ⎟ h →0 ⎜ h 16 + 5h + 4 ⎟ ⎝ ⎠

16 + 5h − 16 h →0 16 + 5h + 4 5 5 = lim = h →0 16 + 5h + 4 8 = lim
Concluimos que la velocidad instantánea a los tres segundos es segundo. Ejemplo 1. Sea f(x) = 13x –6.Encuentre f’(4). Solución. ⎡13 ( 4 + h ) ⎤ − ⎡13 ( 4 ) − 6 ⎤ f (4 + h) − f (4 ) ⎦ ⎣ ⎦ f ' ( 4 ) = lim = lim ⎣ h →0 h →0 h 13h = lim = lim 13 = 13 h →0 h h →0 Ejemplo 2. Si f(x) = x3 + 7x, encuentre f’(c). Solución. f(c + h)− f(c) f '( c ) = lim h →0 h ⎡( c + h )3 + 7 ( c + h ) ⎤ − ⎡c 3 + 7c ⎤ ⎦ ⎦ ⎣ = lim ⎣ h →0 h 2 2 3c h + 3ch + h37h = lim h →0 h 2 = lim (3c + 3ch + h2 + 7
h →0

5 de centímetro...