Derivadas

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DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva

y = f (x )

5 3

–5

3

9

14

■

Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f' (3), f' (9) y f' (14). f ' (3) = 0; f' (9) = –3 ; f' (14) = 1 4

■

Di otros tres puntos en los que la derivada es positiva. La derivada también es positiva en x = – 4, x = –2, x = 0…

■

Diotro punto en el que la derivada es cero. La derivada también es cero en x = 11.

■

Di otros dos puntos en los que la derivada es negativa. La derivada también es negativa en x = 4, x = 5…

■

Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que “si x é [a, b ], entonces f' (x) > 0”. Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x é [–5, 2], entonces f ' (x) > 0.

Unidad 6.Derivadas. Técnicas de derivación

1

Función derivada
■

Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (x). • En el intervalo (a, b), f (x) es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g (x) en (a, b). • La derivada de f en b es 0: f' (b) = 0. Y también es g(b) = 0. • En general: g (x) = f' (x)= 0 donde f (x) tiene tangente horizontal.
y = g (x ) = f ' (x ) b a

y = f (x )

g (x) = f' (x) > 0 donde f (x) es creciente. g (x) = f' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.

b a

■

Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden. Explica razonadamente cuál es la de cada una.

1) B 2) A 3) C La derivada seanula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece.

1

2

3

A

B

C

2

Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación

UNIDAD

6

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° 2 – 3x, x Ì 2 1. f (x) = ¢ 2 ¿Es derivable en x0 = 2? £ x – 3, x > 2
x 8 2– x 8 2+

lím lím

f (x) = lím – (2 – 3x) = –4
x82 x82

f (x) = lím + (x2 – 3) =1
x 8 2–

La función no es continua en x = 2, pues Por tanto, tampoco es derivable en x = 2.

lím

f (x) ? lím + f (x).
x82

° 2 – 3x, x Ì 2 2. f (x) = ¢ 2 ¿Es derivable en x0 = 2? £ x – 8, x > 2
x 8 2–

lím f (x) = lím – (2 – 3x) = –4
x82

x 8 2+

lím f (x) = lím + (x2 – 8) = –4
x82 x 8 2–

La función es continua, pues: ° –3 si x < 2 f' (x) = ¢ £ 2x si x > 2 f' (2–) = –3 ?f' (2+) = 4

lím

f (x) = lím + f (x) = f (2) = –4.
x82

Por tanto, f (x) no es derivable en x = 2.

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1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: a) f (x) = 1–x 1+x 1–x 1+x 1 – tg x 1 + tg x b) f (x) =

√

1–x 1+x

c) f (x) = ln

d) f (x) =

1 – tg x 1 + tg x

e) f (x) =

√

f ) f (x) = ln √e tg x h) f (x) = log (sen x · cos x)2 j ) f (x) =sen √x + 1 · cos √x – 1

g) f (x) = √3 x + 1 i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x

Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación

3

k) f (x) = 7 sen (x

2 + 1)

l) f (x) = sen (3x5 – 2√x + √2x ) n) f (x) = cos2 √x + (3 – x)2
3

3

m) f (x) = √sen x + x 2 + 1

–2 a) f' (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1 – x – 1 + x = 2 2 (1 + x) (1 + x) (1 + x) 2 b) Utilizamos el resultado obtenidoen a): f' (x) = 2

√

–1 1 –2 · = 2 (1 + x) √ (1 – x)(1 + x) 3 1–x 1+x

c) Utilizamos el resultado obtenido en a): f' (x) = 1 –2 –2(1 + x) · = = –2 1 – x (1 + x) 2 (1 – x)(1 + x) 2 1 – x2 1+x

De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos: f' (x) = –1 1 – = –1 – x – 1 + x = –2 1–x 1+x 1 – x2 1 – x2

2 2 d) f' (x) = – (1 + tg x)(1 + tg x) – (1– tg x) · (1 + tg x) = 2 (1 + tg x) 2 2 = (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x) 2 (1 + tg x) (1 + tg x) 2

De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a): f' (x) =
2 –2 –2 · D [tg x] = · (1 + tg 2 x) = – 2(1 + tg x) (1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2

e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d): f' (x) = 2

√

2 – (1 + tg 2 x) 1 · – 2(1 + tg x) = (1 + tg x)...