Derivadas

DERIVADAS

La Derivada: Sea f : (a, b) → R y sea x0 ∈ (a, b). Se define la derivada de la funci´n o f en el punto x0 por f (x0 ) = df f (x0 + h) − f (x0 ) (x0 ) = lim h→0 dx h

en el caso que tal l´ ımite exista. Si el l´ ımite existe decimos que la funci´n es o derivable en el punto x0 . Hacemos notar que si lim f (x0 ). De este modo toda funci´n derivable en x0 es continua en x0 . o En estasnotas usaremos indistintamente las notaciones denotar la derivada de la funci´n f en el punto x. o
df (x) dx h→0 f (x0 +h)−f (x0 ) h

existe, entonces lim f (x0 + h) =
h→0

o f (x) para

Decimos que una funci´n es derivable en un intervalo (a, b) si es derivable o en x para todo x ∈ (a, b).

Interpretaci´n Geom´trica de la derivada. o e

En la Fig 1, m´s abajo, observamos que elcuociente de diferencias a f (x0 + h) − f (x0 ) h es la pendiente de la cuerda al gr´fico que une los puntos (x0 , f (x0 )) y (x0 + a h, f (x0 + h)).

1

10 8 6 y 4 y=f(x) 2

Cuerda al Grafico (x_0+h,f(x_0+h))

(x_0,f(x_0)) –2 2 x 4 6

Fig. 1

Ahora, en caso de existir f (x0 ) la funci´n f es continua en x0 y, si hacemos o tender h a 0 el punto (x0 + h, f (x0 + h)) se acercar´ al punto (x0, f (x0 )) y la a pendiente de la cuerda se acercar´ a lo que deber´ ser la pendiente de la recta a ıa tangente al gr´fico en el punto (x0 , f (x0 )). As´ f (x0 ) es la pendiente de la a ı tangente al gr´fico en el punto (x0 , f (x0 )). a Como adem´s el punto (x0 , f (x0 )) est´ en dicha tangente tenemos que la a a ecuaci´n de la recta tangente al gr´fico en el punto (x0 , f (x0 )) est´ o a a dadapor

y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) 2

Ver Fig. 2.

Recta tangente a un grafico en un punto 4 3 y 2 1 –2 0 –1 –2 y=f ’(x_0)(x-x_0)+f(x_0) (x_0,f(x_0)) 2 x 4 6

y=f(x)

Fig. 2 Derivadas Laterales: Sea f : [a, b) → R y sea x0 ∈ [a, b). Se define la derivada por la derecha de la funci´n f en el punto x0 por o f+ (x0 ) = df f (x0 + h) − f (x0 ) (x0 ) = lim+ + h→0 dx h

en el caso que tal l´ımite exista. Si el l´ ımite existe decimos que la funci´n es o derivable por la derecha en el punto x0 . Sea f : (a, b] → R y sea x0 ∈ (a, b]. Se define la derivada por la izquierda de la funci´n f en el punto x0 por o f− (x0 ) = df f (x0 + h) − f (x0 ) (x0 ) = lim h→0− dx− h

en el caso que tal l´ ımite exista. Si el l´ ımite existe decimos que la funci´n es o derivable por la izquierda en elpunto x0 . Del teorema correspondiente sobre l´ ımites se deduce que f es derivable en x si y s´lo s´ la derivada por la derecha y por la izquierda ambas o ı existen y son iguales. Ejercicio: 3

1. En que puntos es la funci´n f (x) = |x| derivable? Calcule su derivada. o 2. En que puntos es la funci´n f (x) = |x| 2 derivable? Calcule su derivada. o Un ejemplo: Todos sabemos que el gr´fico de lafunci´n a o p(x) = ax2 + bx + c con a = 0 es una par´bola. Nos proponemos ubicar su v´rtice. a e El v´rtice de la par´bola es el unico punto en ella donde la recta tangente e a ´ es horizontal o sea el unico punto donde la pendiente de la recta tangente es 0. ´ Es decir el unico punto donde la derivada de la funci´n p se anula. Calculemos ´ o la derivada de p en un punto x. Se tiene p(x + h) − p(x)a(x + h)2 + b(x + h) + c − (ax2 + bx + c) = = 2ax + b + ah. h h As´ ı
3

p (x) = lim

p(x + h) − p(x) = 2ax + b. h→0 h

Buscamos el valor de x donde esta derivada se anula, este es x=− b . 2a

Por lo tanto el v´rtice de la par´bola esta situado en el punto e a (− Observaci´n: o Es elemental que la derivada tambi´n puede expresarse por e f (x) = lim f (x + h) − f (x) f (x + ∆x) − f (x) f(y) − f (x) = lim = lim . y→x ∆x→0 h→0 h ∆x y−x b b b b2 − 4ac , p(− )) = (− , − ). 2a 2a 2a 4a

Algunas derivadas elementales: 4

1. Si f (x) ≡ C con C ∈ R, entonces f (x) = 0. Demostraci´n: o Se tiene
f (x+h)−f (x) h

=

C−C h

= 0 y por lo tanto f (x + h) − f (x) = 0. h→0 h

f (x) = lim

2. Si f (x) = xn con n ∈ N, entonces f (x) = nxn−1 . Demostraci´n: o Se tiene
f (x+h)−f...