derivadas

Modelos Matem´ticos en Mec´nica
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a
Francisco–Javier Sayas
Versi´n 2008
o

Introducci´n
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La mayor parte de las ecuaciones de la mec´nica de medios continuos y un buen n´mero
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de problemas de la f´
ısica se expresan en t´rminos de ecuaciones en derivadas parciales,
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con distintos tipos de condiciones adicionales, sean condiciones iniciales, de contorno, de
radiaci´n,... Enprincipio podr´
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ıamos creer que el desarrollo de la teor´ (y tambi´n de la
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aproximaci´n num´rica) de estos problemas consistir´ en transferir a varias variables lo que
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sabemos para una, es decir, en hacer alg´n tipo de extensi´n de las ecuaciones diferenciales
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ordinarias a las ecuaciones en derivadas parciales. Para quien nunca ha estudiado estas
ultimas ecuaciones, lasorpresa viene en la dificultad de encontrar una exposici´n general
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incluso de las ecuaciones en derivadas parciales m´s simples, las lineales. Mientras que
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la teor´ de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (o la de sistemas lineales) es
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relativamente elemental, hay muchos enfoques posibles para mostrar resultados te´ricos
o
sobre ecuaciones en derivadas parciales lineales.Cada enfoque enfatiza un aspecto distinto
y se puede decir con una cierta comodidad que ning´n enfoque prueba todo ni sirve para
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todas las ecuaciones.
A lo largo de este curso nos vamos a ocupar de cuestiones bastante elementales sobre
ecuaciones en derivadas parciales, mayoritariamente de problemas lineales de orden dos.
Enmarcado como este curso est´ en un programa de Mec´nicaComputacional, el punto de
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vista va a buscar llegar a formulaciones que luego sirvan para la aproximaci´n num´rica,
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espec´
ıficamente con m´todos del tipo del M´todo de los Elementos Finitos. Nuestra preoe
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cupaci´n principal va a ser escribir las ecuaciones de forma que podamos, si es posible,
o
demostrar existencia de soluci´n (algo que no es nada obvio incluso en las ecuaciones m´s
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simples), unicidad de soluci´n y dependencia continua de los datos.
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Las notas de este curso han pasado por varias fases. Hace varios a˜os conceb´ un
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curso que entonces se llam´ Modelos matem´ticos en EDP y que estaba destinado a
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que estudiantes graduados de matem´ticas pudieran conocer con rigor pero a una cierta
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rapidez las ecuaciones en derivadas parciales m´simportantes de la mec´nica de medios
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continuos y su problem´tica. Porque se decidi´ en su momento incluir bastante material en
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poco tiempo (ese ha sido ultimamente el estilo de muchos cursos de posgrado en Espa˜a),
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realic´ mi primera versi´n del curso y de las notas correspondientes con varios objetivos
e
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concretos muy simples:
cada cap´
ıtulo deber´ estudiar al menos unaecuaci´n nueva que aparezca en mec´niıa
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ca o f´
ısica de medios continuos,
cada cap´
ıtulo deber´ introducir una herramienta matem´tica nueva para analizar
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a
estas nuevas ecuaciones,
1

en la medida de lo posible se evitar´ demostraciones de resultados potentes pero
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complicados de an´lisis funcional, pero se reducir´ el n´mero de esos a un m´
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ınimo
y se buscar´ laforma de explotarlos al m´ximo y de presentarlos en la generalidad
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adecuada al problema1 ,
las meras extensiones a ecuaciones parecidas (desde el punto de vista matem´tico,
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que ni f´
ısico) se propondr´ en una serie de proyectos/ejercicios.
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Unos a˜os despu´s, la audiencia del curso cambi´ y pas´ a ser casi ´
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ıntegramente (cuando no completamente) de ingenierossuperiores y graduados de ciencias no matem´ticas,
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por lo que re–escrib´ una primera mitad de las notas (durante un tiempo solo he impartido
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medio curso) con un p´blico menos ducho en matem´ticas en mente. Esta versi´n vuelve
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a contener casi todo el material original, si bien organizado de una forma bien distinta2 .
No obstante, no he renunciado a los objetivos que me plante´ al...