derivadas

Derivadas de funciones reales [y = f(x), x y y reales]

Introducción y terminología básica:

Dada una función y = f(x). Si la variable independiente varia entre dos valores x0 y x decimosque sufrió un incremento ; “delta de x” acorde con esto es de esperarse un incremento en la función , “delta de y”

La razón o cociente entre los incrementos de la función y de x, nos dice con queintensidad aumenta o disminuye la función en promedio, entre los dos puntos.

A esto se le llama Razón de Cambio de Media o promedio de f en dicho intervalo cerrado : R.C.M

Si consideramos queobtendremos la Razón de cambio de la función en el punto , llamada Razón de Cambio Instantánea (R.C.I); nos da razón de que tan rápido o que tan despacio aumenta o disminuye la función con respecto a lavariación de x, en dicho punto.

Gráficamente se puede interpretar:

La R.C.M (Razón de Cambio Media) como la pendiente de la recta secante a la curva entre los puntos (x0 , f()) y (x , f(x))La R.C.I (Razón de Cambio Instantánea) como la pendiente de la recta que pasa por el punto (x0 , f(x0)) que se aproxima mas a la gráfica de la función; esta recta se llama recta tangente a la curvaen dicho punto.



Podemos asimilar también a x como x0+h.

Ejemplo: Considere . Y hallemos la pendiente de la recta tangente a la curva en

Entre los puntos y encontramos primero lapendiente de la recta secante, que pasa por esos dos puntos, luego de simplificar la expresión tomamos su límite cuando ; veamos




Hallemos la pendiente de la recta tangente a la curva enHallemos la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de abscisa x


Igual ocurre para toda función, existirá una función que permita calcular la pendiente de la rectatangente a una curva en cualquier punto de abscisa x. Llamada función derivada de f(x). En el caso de f(x) = x2 tenemos que la función derivada de f(x) es 2x.

Hallemos la pendiente de la recta...