Derivadas
Páginas: 22 (5458 palabras)
Publicado: 3 de agosto de 2012
OBJETIVOS
1) Introducir al lector, en el estudio de las reglas básicas de derivación.
2) Conocer la aplicación de la derivada en temas económicos y financieros.
3) Proporcionar ejemplos sencillos que permitan la comprensión del tema de estudio.
ALGUNAS REGLAS PARA DETERMINAR DERIVADAS
Estasección contiene algunas reglas generales que simplifican la tarea de encontrar derivadas. En los enunciados de los teoremas se usará el operador diferencial DX para denotar derivadas. El primer resultado de esta sección se enuncia expresando: la derivada de una constante es cero.
Teorema 3.7 DX(c) = 0
Demostración: Sea f la función constante definida por f(x) = c para todo x. Demostraremos quef’(x) = 0. Como todos los valores de f son iguales a c, resulta que f(x+h) = c para todo h. Aplicando (3.4),
[pic]
Teorema 3.8 Dx (x) = 1
Demostración: Si f(x) = x para todo x, entonces
[pic]
En la demostración del teorema (3.10) se usará la siguiente fórmula.
Teorema del binomio (3.9)
[pic]
Donde a y b son números reales, n es un entero positivo y
[pic]
El teorema delbinomio puede demostrarse por el método de inducción matemática. Los casos particulares para n = 2, n = 3 y n = 4 son:
[pic]
Regla de la potencia (3.10)
Si n es un entero positivo entonces Dx (xn) = nxn-1
Demostración
Sea f(x) = xn. Se quiere demostrar que f’(x) = nxn-1. Por (3.4),
[pic]
Si el límite existe. Usando el Teorema del Binomio (3.9) con a = x y b = h.
[pic]Todos los términos después del primero contienen un factor h elevado a alguna potencia entera. Restando xn y dividiendo entre h se obtiene
[pic]
Como todos los términos dentro del paréntesis, excepto el primero, contienen una potencia de h, resulta que f’(x) = nxn-1
Para x no igual a 0, la fórmula (3.10) es válida también cuando n = 0 pues en este caso f(x) = x0 = 1 y, por el teorema (3.7),f’(x) = 0 = 0 . x0-1
Cuando se usan variables independientes diferentes de x, la regla de la potencia se escribe en términos de esas variables:
[pic]
La citada regla demuestra ser válida también cuando n es un número racional.
En los enunciados de los teoremas (3.11) a (3.14) se supone que f y g son derivables de x.
Teorema (3.11) Dx[cf(x)] = cDx[f(x)]
Demostración: Tomando g(x) =cf(x), se tiene
[pic]
Para el caso especial f(x) = xn, los teoremas (3.11) y (3.10) dan la siguiente fórmula que es válida para todo número real c y para todo entero positivo n:
Dx(cxn) = (cn)xn-1
Así, para derivar cxn se multiplica el coeficiente c por el exponente n y se le resta 1 al exponente original.
Teorema (3.12)
i) Dx [f(x) + g(x)] = Dx [f(x)] + Dx [g(x)]
ii) Dx[f(x) – g(x)] = Dx [f(x)] – Dx [g(x)]
Demostración: Para demostrar (i) tomamos k(x) = f(x) + g(x). Demostraremos que k’(x) = f’(x) + g’(x). Esto puede hacerse como sigue:
[pic]
Se puede usar un razonamiento semejante para demostrar la parte (ii).
El teorema (3.12) (i), el cual expresa que la derivada de una suma es la suma de las derivadas, puede generalizarse al caso de sumas de unnúmero arbitrario de funciones. Como un polinomio es una suma de términos de forma, cxn donde c es un número real y n un entero no negativo, pueden usarse los resultados sobre derivadas de sumas y diferencias para evaluar la derivada, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo:
Encontrar f’(x) para f(x) = 2x4 – 5x3 + x2 – 4x + 1
f’(x) = Dx (2x4 – 5x3 + x2 – 4x + 1)
f’(x) = Dx (2x4) –Dx(5x3) + Dx(x2) – Dx(4x) + Dx(1)
f’(x) = 8x3 – 15x2 + 2x – 4
Regla del producto (3.13)
Dx [f(x)g(x)] = f(x) Dx[g(x)] + g(x) Dx [f(x)]
Demostración: Sea k(x) = f(x)g(x). Demostraremos que
k’(x) = f(x)g’(x) + g(x)f’(x).
Si k’(x) existe, entonces
[pic]
Para cambiar la forma del cociente de manera que el límite pueda evaluarse, sumamos y restamos la expresión f(x...
1) Introducir al lector, en el estudio de las reglas básicas de derivación.
2) Conocer la aplicación de la derivada en temas económicos y financieros.
3) Proporcionar ejemplos sencillos que permitan la comprensión del tema de estudio.
ALGUNAS REGLAS PARA DETERMINAR DERIVADAS
Estasección contiene algunas reglas generales que simplifican la tarea de encontrar derivadas. En los enunciados de los teoremas se usará el operador diferencial DX para denotar derivadas. El primer resultado de esta sección se enuncia expresando: la derivada de una constante es cero.
Teorema 3.7 DX(c) = 0
Demostración: Sea f la función constante definida por f(x) = c para todo x. Demostraremos quef’(x) = 0. Como todos los valores de f son iguales a c, resulta que f(x+h) = c para todo h. Aplicando (3.4),
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Teorema 3.8 Dx (x) = 1
Demostración: Si f(x) = x para todo x, entonces
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En la demostración del teorema (3.10) se usará la siguiente fórmula.
Teorema del binomio (3.9)
[pic]
Donde a y b son números reales, n es un entero positivo y
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El teorema delbinomio puede demostrarse por el método de inducción matemática. Los casos particulares para n = 2, n = 3 y n = 4 son:
[pic]
Regla de la potencia (3.10)
Si n es un entero positivo entonces Dx (xn) = nxn-1
Demostración
Sea f(x) = xn. Se quiere demostrar que f’(x) = nxn-1. Por (3.4),
[pic]
Si el límite existe. Usando el Teorema del Binomio (3.9) con a = x y b = h.
[pic]Todos los términos después del primero contienen un factor h elevado a alguna potencia entera. Restando xn y dividiendo entre h se obtiene
[pic]
Como todos los términos dentro del paréntesis, excepto el primero, contienen una potencia de h, resulta que f’(x) = nxn-1
Para x no igual a 0, la fórmula (3.10) es válida también cuando n = 0 pues en este caso f(x) = x0 = 1 y, por el teorema (3.7),f’(x) = 0 = 0 . x0-1
Cuando se usan variables independientes diferentes de x, la regla de la potencia se escribe en términos de esas variables:
[pic]
La citada regla demuestra ser válida también cuando n es un número racional.
En los enunciados de los teoremas (3.11) a (3.14) se supone que f y g son derivables de x.
Teorema (3.11) Dx[cf(x)] = cDx[f(x)]
Demostración: Tomando g(x) =cf(x), se tiene
[pic]
Para el caso especial f(x) = xn, los teoremas (3.11) y (3.10) dan la siguiente fórmula que es válida para todo número real c y para todo entero positivo n:
Dx(cxn) = (cn)xn-1
Así, para derivar cxn se multiplica el coeficiente c por el exponente n y se le resta 1 al exponente original.
Teorema (3.12)
i) Dx [f(x) + g(x)] = Dx [f(x)] + Dx [g(x)]
ii) Dx[f(x) – g(x)] = Dx [f(x)] – Dx [g(x)]
Demostración: Para demostrar (i) tomamos k(x) = f(x) + g(x). Demostraremos que k’(x) = f’(x) + g’(x). Esto puede hacerse como sigue:
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Se puede usar un razonamiento semejante para demostrar la parte (ii).
El teorema (3.12) (i), el cual expresa que la derivada de una suma es la suma de las derivadas, puede generalizarse al caso de sumas de unnúmero arbitrario de funciones. Como un polinomio es una suma de términos de forma, cxn donde c es un número real y n un entero no negativo, pueden usarse los resultados sobre derivadas de sumas y diferencias para evaluar la derivada, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo:
Encontrar f’(x) para f(x) = 2x4 – 5x3 + x2 – 4x + 1
f’(x) = Dx (2x4 – 5x3 + x2 – 4x + 1)
f’(x) = Dx (2x4) –Dx(5x3) + Dx(x2) – Dx(4x) + Dx(1)
f’(x) = 8x3 – 15x2 + 2x – 4
Regla del producto (3.13)
Dx [f(x)g(x)] = f(x) Dx[g(x)] + g(x) Dx [f(x)]
Demostración: Sea k(x) = f(x)g(x). Demostraremos que
k’(x) = f(x)g’(x) + g(x)f’(x).
Si k’(x) existe, entonces
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Para cambiar la forma del cociente de manera que el límite pueda evaluarse, sumamos y restamos la expresión f(x...
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