Derivadas

¿QUÉ ES Y PARA QUE SIRVE UNA DERIVADA?
Cuando me enseñaban por primera vez a utilizar las derivadas pregunté al profesor para qué sirve una derivada; me contestó: « ya lo aprenderás más adelante! »
Siempre recordaré aquella respuesta idiota.
Hace unos días estaba dando una formación a 20 profesores sobre el método del « aprendizaje experiencial”. El método da importancia a la experiencia de lapersona que aprende, a su sentir, a su imaginar, a su observación, para que desde ahí pueda acceder al pensamiento y a la abstracción.
Recordando la pregunta que le hice a aquel profesor, les hice la misma a ellos: ¿Podéis decirme qué es y para qué sirve una derivada? Solo una profesora supo responderme.
Una de las profesoras presentes en el curso, un momento antes, había insinuado que ahora sedevaluaba la adquisición de conocimientos en favor de un enfoque que llamaba •”psicologizante”. Lo gracioso es que la misma persona no sabía qué era una derivada y sin embargo había hecho cientos de derivadas, aprobado el bachiller, la selectividad y al menos 3 años de estudios en los que ha tenido formación en física, matemáticas y tecnología. Luego el problema no es de ahora.
No se daba cuentaque los reproches que hacía al enfoque “psicologizante” (que no se cual es) no era sino la expresión de sus propias limitaciones: La formación que ha recibido es una formación que no penetra en el conocimiento porque no ayuda a comprender los fundamentos de los conceptos. Es una formación de “papagayo” la que ha recibido y la que reproduce. El problema es que ahora ese método que utiliza ya nomantiene la atención del alumnado y se revela ineficaz y a través de ello muestra su propia ineficacia.
Como se que hay muchas personas que no han entendido lo que es una derivada aunque hayan hecho muchas, voy a utilizar este hecho para justificar mi argumentación posterior sobre una propuesta pedagógica.
Voy primero a explicar qué es y para qué sirve una derivada. Al lector de juzgar si miexplicación les ha ayudado a comprender que es una derivada y para que sirve y si mi propuesta pedagógica le convence.
1º IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)

Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fijate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué constatas con relación a su inclinación?Tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el último tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.
Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de lapendiente va reduciéndose.
Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente esde 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál sería la pendiente en este caso?
La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.

Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. Así desencillo.
La derivada nos muestra la evolución de la inclinación de los tablones a lo largo del trayecto.
Así que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ángulos de los tablones con relación a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tablón está paralelo al suelo,...