Derivadas

FACULTAD DE ECONOMÍA


Departamento de Matemática

Primer Cuatrimestre 2010

ANÁLISIS MATEMÁTICO I


(Carreras de la Facultad de Ingeniería)


Trabajo Práctico N° 4 Derivada


1) Sean (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)) dos puntos de una curva, podemos expresar la pendiente de la recta secante que une estos dos puntos como [pic].
a) Sea [pic] y a=1. Calcular lapendiente de la recta secante [pic], para cada h indicado y observar a qué valor se aproxima a medida que h disminuye.


i) h=1 ii) h=0.5 iii) h=0.25


2) En cada caso, hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto indicado.
Graficar la curva y la recta tangente en un mismo sistema de coordenadas.
a) [pic] cuando x=2.
b) [pic] cuando x=-2.3) En los siguientes gráficos las rectas tangentes a la izquierda y derecha del punto “P” se designan con “L1” y “L2” respectivamente. Analizar si existe la derivada en el punto “P”.

[pic]

4) Dada [pic], calcular, usando la definición de derivada, [pic] y [pic].


5) a) Hallar por definición la función derivada de:
i) [pic] ii) [pic]
b) Hallar la rectatangente y normal en x=0 para la función del inciso a)i).










6) Encontrar la función derivada en cada uno de los incisos.


a) [pic] b) [pic]


c) [pic] d) [pic]


Qué puede decir respecto de la continuidad de cada una de las funciones?


7) Dada
[pic]


Determinar los valores de [pic] y [pic] para que la función [pic] sea derivableen [pic].


8) Escribir la ecuación de la recta normal y de la recta tangente a la siguiente curva en el punto indicado:
[pic] en [pic] Rta: x = 1 recta tangente, y = 0 recta normal


9) Si f es derivable en c entonces f es continua en c. Mostrar con un ejemplo que el recíproco de esta afirmación es falso.


10) Calcular, aplicando las reglas dederivación, la derivada de las siguientes funciones:


a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]


11) Calcular la derivada segunda f’’ de los incisos a) y b) del ejercicio anterior.


12) a) Encontrar las coordenadas de los puntos [pic] de la curva [pic] cuya recta tangente tenga pendiente igual a 9.


b) Obtener unaecuación de la recta tangente a la curva [pic] que es perpendicular a la recta [pic]. Rta: y = 2x – 2.




13) Suponga que se arroja una pelota desde lo alto de un edificio de 160 metros de altura con una velocidad de 64 metros por segundo y su posición en el instante t viene dada por [pic].
a) Cuándo alcanza la altura máxima?
b) Cuál es la altura máxima?
c) Cuándo llega al piso?
d) Conqué velocidad llega al piso?
e) Cuál es la velocidad cuando t=2.


14) Calcular [pic] para las siguientes funciones expresadas en forma implícita:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]


15) Calcule [pic] para cada una de las siguientes funciones:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]


16) Demostrar que las tangentes a las curvas dadas en forma implícita [pic] y [pic] en el punto(1,2) son perpendiculares entre sí.


17) a) Sea [pic]y sea h la función inversa de g. Hallar [pic].
b) Sea [pic], y g su función inversa. Hallar [pic].
18) Determinar [pic]
a) [pic] b) [pic]
19) Una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas [pic]

a) Demostrar que en C hay dos tangentes en el punto (3, 0) y determinar sus ecuacionesb) Encontrar los puntos en C donde la tangente es horizontal o vertical.


20) Determinar la ecuación de la recta tangente a los gráficos de las siguientes curvas dadas en coordenadas polares.
[pic] en [pic] [pic] en [pic]
21) Dadas las siguientes curvas, determinar los puntos donde la recta tangente a la gráfica sea horizontal o vertical.
[pic] [pic]
RAZON DE CAMBIO...