Derivadas

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Derivada

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA
INCREMENTOS
Se define como incremento de la variable x al aumento o disminución que experimenta, desde un valor x1 a otro x2 , en su campo de variación. Se denota por ∆x . Por tanto:

∆x = x2 − x1
y

x1

x2 ∆x = x2 - x1

x

De forma análoga, elincremento de la variable un valor

y es el aumento o disminución que experimenta, desde

y1 a otro y 2 , en su campo de variación. Se denota por ∆ y , esto es: ∆y = y2 − y1
y

y2 = f(x2)

∆y = y2 - y1

y1 = f(x1)

x

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Por definición, los incrementos pueden ser: ∆ > 0 si el valorfinal es mayor que el inicial

∆ 0 , se tiene: f ' ( x ) = lim x < 0 , se tiene:

x + ∆x − x

∆x → 0

Por tanto, la función es derivable para
•

x > 0.

∆x

= lim

∆x →0

x + ∆x − x ∆x = lim = lim 1 = 1 ∆ → 0 ∆x ∆x →0 ∆x

Si

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f ' ( x ) = lim
•

x + ∆x − x ∆x 0 + ∆x −0 ∆x = lim+

∆x →0

= lim

∆x →0

− ( x + ∆x ) − (− x ) − ∆x = lim = lim (− 1) = −1 ∆ → 0 ∆x ∆x →0 ∆x

Por tanto, la función es derivable para Si

x = 0 , se tiene:
∆x → 0

x < 0.

f ' ( x ) = lim

(si existe)

Se comparan los límites laterales por separado:

∆x = lim+ 1 = 1 ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x 0 + ∆x − 0 ∆x − ∆x lim− = lim− = lim− = lim− ( − 1) = −1 ∆x →0 ∆x→0 ∆x ∆x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x lim+ = lim+
Puesto que excepto en
∆x→0+

0 + ∆x − 0

∆x

lim f (0) ≠ lim− f (0) , no existe f ' (0) . Por lo tanto f ( x ) es derivable para toda x
∆x→0

x = 0.

En la gráfica siguiente se aprecia como la función no posee tangente en
y

x = 0.

4

2

0 -4 -2 y = f(x) = x  2 4

x

FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

y = f (g ( x)) . dy La derivadade la función compuesta se obtiene por medio de: dx dy dy du = ⋅ dx du dx
con: Expresión conocida también como la regla de la cadena.

Sean las funciones

y = f (u )

y

u = g(x) , tal que se forme una composición de funciones que cumpla

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La regla de la cadena es muy útil encambios de variable a fin de simplificar la derivación de funciones: a una parte de la función se le denota como u , se deriva la función respecto a esta variable, se le multiplica por

du y finalmente se sustituye u por la parte correspondiente de la función original en x . dx Sean u, v, w tres funciones de x , es decir, u = f (x), v = f ( x), w = f (x) y c una constante. Las once d (c ) = 0 dxprimeras formulas básicas de derivación, considerando la regla de la cadena, son: 1)

Demostración:

f ( x + ∆x) = c 2º paso: f ( x + ∆x) − f ( x) = c − c = 0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) 0 er = =0 3 paso: ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim 0 = 0 4º paso: lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x d ∴ f ' ( x ) = (c ) = 0 dx
1 paso:
er

f (x) = c

La derivada de una constante siempre es cero. 2)

d (x ) = 1 dxDemostración:

f ( x + ∆x) = x + ∆x 2º paso: f ( x + ∆x) − f ( x) = ( x + ∆x) − x = x + ∆x − x = ∆x f (x + ∆x ) − f (x ) ∆x er = =1 3 paso: ∆x ∆x f (x + ∆x ) − f (x ) = lim (1) = 1 4º paso: lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x d ∴ f ' (x ) = (x ) = 1 dx La derivada de x , respecto a si misma, es uno.
1 paso:
er

f (x) = x

3)

d (c ⋅ x ) = c dx

f ( x) = c ⋅ x er 1 paso: f ( x + ∆x ) = c( x + ∆x ) 2º paso: f( x + ∆x) − f ( x) = c( x + ∆x) − cx = cx + c∆x − cx = c∆x

Demostración:

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f (x + ∆x ) − f ( x ) c∆x = =c ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim (c ) = c 4º paso: lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x d ∴ f ' ( x ) = (c ⋅ x ) = c dx
3 paso:
er

La derivada de una función por una constante es igual a...