derivadas

Teoremas sobre derivadas
Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.
 
 
Teorema
 
La derivada de una función constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante.
Ejemplos:
1. Si  entonces 
2. Si  entonces 
3. Si  entonces 
 
Teorema
 
Si  entonces  es derivable sobre  y  
Prueba: Ejercicio para el estudiante.
Ejemplos:
1.
2.
3.
 
 
Teorema
 
Si  con  y  pertenece al conjunto A en el que  está bien definida, entonces  es derivable en  y 
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
1. Si  entonces 2. Si  entonces 
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Teorema
Si la función es derivable sobre un intervalo  y  es un número real, entonces la función  para la que  es derivable sobre , además . 
Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definición de derivada de una función.
Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual alproducto de la constante por la derivada de la función. 
Ejemplos:
1. Si  entonces 

2. Si  entonces 


3.

4.
5.
Teorema

Si  y  son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la función  es derivable sobre  y además, para . 
Prueba: Al final del capítulo.
 
Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada unade las funciones. 
También: 
 
donde  son funciones derivables sobre un intervalo . 
Ejemplos:
 
1.

 
2.

 
3.

Si  y  son funciones derivables sobre un intervalo  entonces la función  es derivable sobre , y además para cualquier  se tiene que 
Ejemplos:
1.

2.  


 
Teorema
 
Si  y  son funciones derivables sobre un intervalo  entonces la función  es derivable sobre , yademás para cualquier  se tiene que 
Prueba: Al final del capítulo.
Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera. 
Ejemplos:
 
1.

 
2.

 
3.
, con a, b, c, k constantes. 
 
  
 
4.




 
Teorema

Si  y  son dosfunciones derivables y si  sobre un intervalo entonces la función  es derivable sobre , y además para cualquier  y se tiene que  
Prueba: Al final del capítulo.
Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador. Ejemplos:
1.  
 
 
 
 con  

2.  
 
 
 
 
 con  

3.
 
 
 con  


 
 
Derivada de una función compuesta 
Regla de la cadena
Si consideramos las ecuaciones  entonces puede escribirse "y" como . 
En igual forma, si  entonces puede expresarse "y" como. 
En general, si  entonces . 
Las ecuaciones anteriores dan en forma explícita las siguientes funciones: 
 
 
 
Lafunción  para la cual  recibe el nombre de función compuesta y se escribe . 
Observe que los elementos del dominio de  son los  que pertenecen al dominio de la función , tales que  pertenezca al dominio de . 
Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama: 

Otros ejemplos de funciones compuestas son: 
1.  donde  y 
2.  donde  y  
Determinaremos ahora la derivada de una función compuesta.  
 
Teorema
 
Si la función  es derivable sobre un intervalo  y si la función  es derivable sobre un intervalo  tal que, entonces la función compuesta es derivable sobre  y, para . 
Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena. 
 
Demostración: Al final del capítulo.
 
Ejemplos:
1.

2.  con 


3.  
 
Corolario
 
Si la función  es derivable sobre un intervalo  y...