Derivadas

INTRODUCCION

En la matemática la derivada de una función es considerada la más importante, ya que es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la grafica de la función en un punto. A través de esta investigación se pretende estudiar más afondo lo que son las derivadas de las funciones y poder llegar a tener más destreza al momento de resolver dichasderivadas, como también su aplicación ya que es de suma importancia para ciertas ramas como lo son la ingeniería, administración, economía, entre otras.
Para ello desarrollaremos los siguientes temas más remotos: 1) Derivada; 2) Historia de la derivada; 3) Definiciones de derivada: a) Definición como cociente de diferencia; b) Derivada de una función; c) Notaciones de las derivadas; y 4) Teoremas paraderivar funciones algebraicas.
Espero que este cometido ayude a enriquecer las extensas proporciones que hayamos en la matemática basándome tanto en la base teórica como practica y propagar novedades acerca de dicho tema.






Derivada
La derivada de una función es considerada la más importante en la matemática esta es el resultado de un límite y representa la pendiente de la rectatangente a la gráfica de la función en un punto.
En matemática a la derivada de una función es tomada como una medida de la rapidez con la que varia el valor de dicha función matemática, según varié el valor de su variable independiente.
El valor de la derivada de una función se toma como un punto donde puede interpretarse geométricamente, ya que es correspondida por la pendiente de una rectatangente en la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cadapunto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.
A continuación un ejemplo donde seexplica que es y para qué sirve una derivada:
 1º Imagina: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)
 
Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fíjate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué constatas con relación a su inclinación?
Tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carroy menos al final en el último tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.
Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reduciéndose.
Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9(el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera). La pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de larecta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál sería la pendiente en este caso?
 La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.
 


Historia de la derivada
Los orígenes del calculo estuvieron motivados por el deseo de resolver problemas vinculas al movimiento de...