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ESTUDIO DE OPERACIONES URBANAS OTOÑO 2001 Soluciones trabajo 4

MATERIAL REUNIDO POR JAMES S. KANG 3/10/2001

1. Problema 4.12 LO (Pinker, 1994; Kang, 2001) El aeropuerto se puede modelar como un sistema de colas M/G/1 con distribución uniforme de tiempo de servicio E[S] = 60 seg y σ2S = 48 seg2. (a) El coste anual que suponen para las líneas aéreas las demoras en horas punta se calculamediante la fórmula:

, donde: • • CA es el coste medio de 1 minuto de espera para las aeronaves comerciales = 12$/min / avión, λA es la tasa de llegada de aeronaves comerciales = 40 aviones / hr

Para calcular Wq empleamos la fórmula Pollaczek - Khintchine (4.81) para sistemas de colas M/G/1.

, donde

Obsérvese que estamos utilizando λ (no λA) para calcular Wq. Introduciendo en la fórmula losvalores numéricos, tenemos que Wq = 5.573 minutos. Por lo tanto CA = 12$ / min / avión x 40 aviones / hora x 5,573 minutos x 1000 horas = 2.675.200$ (b) Llamaremos f al incremento en las tasas de aterrizaje. Luego la tasa de llegada de aeronaves en general vendrá expresada por 15 – 15/60 f por hora. Dado que la tasa de llegada de aeronaves comerciales no se ve afectada por los incrementos en lastasas de aterrizaje, la tasa total de llegadas λ nos vendrá dada por

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El coste anual para aeronaves comerciales durante horas punta estaría entonces compuesto por las tasas de aterrizaje y el coste de espera (demora).

A continuación queremos hallar el valor de f que minimice CA.

De donde se deduce que la cantidad óptima de incremento de las tasas de aterrizaje será f = 18,2$ poraeronave. 2. (Kang, 2001) (a) Se trata de un sistema de colas M/D/1, en el que

Al ser σ2S = 0; en este sistema de colas el valor de Wq nos viene dado por (véase fórmula de Pollaczek - Khintchine (4.81))

El coste total de las demoras en este sistema es

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Por lo que el coste marginal de demora ocasionado por cada cliente adicional del tipo 1 viene dado por

El primer término de la derechaes lo que se conoce como el coste interno que experimenta el cliente adicional del tipo 1, y el segundo término es el coste externo que ese cliente ocasiona al sistema. La derivada de Wq con respecto a λ1 se calcula del siguiente modo:

El coste interno asociado a un cliente adicional (marginal) del tipo 1 es

Y el coste externo asociado a un cliente adicional del tipo 1 es

Del mismo modo,el coste marginal por demora que ocasiona un cliente adicional del tipo 1 nos lo indica

Y el coste interno asociado a un cliente marginal del tipo 2 es

Hay que tener en cuenta que, como

el coste externo asociado a un cliente marginal del tipo 2 es

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Los dos costes externos son idénticos. Ello se debe a que el tiempo de servicio de los clientes del tipo 1 es el mismo que el de losclientes del tipo 2. Cuando los tiempos de servicio son diferentes los costes externos no coinciden, por lo general. (b) Aunque el tiempo de servicio para cada tipo de cliente es constante, el sistema de colas ya no es del tipo M/D/1, puesto que el tiempo de servicio de los clientes del tipo 1 es distinto del de los del tipo 2. Podemos considerar este sistema como un sistema de colas M/G/1 en elque la distribución del tiempo de servicio viene dado por la siguiente función de masa de probabilidad (FMP).

El coste previsto de espera total nos viene dado por

(c) El coste total previsto en este caso se expresa mediante

λ, E [S2] y ρ se calculan del siguiente modo:

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En consecuencia, el valor de C nos viene dado por

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3. (Kang, 2001) (a) Podemos considerar que cadaservicio se halla compuesto por dos fases de servicio, cuyas respectivas duraciones dependen de una distribución exponencial negativa de media 1/2µ. Llamaremos n a la variable de estado que indica el número de fases de servicio que hay que completar. Por tanto, el diagrama de transición entre estados nos viene dado por

Obsérvese que no hay "transición ascendente" (llegadas) desde el estado 5, ya...
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