desigualdades numeros reales

Art´
ıculo sobre Algebra

DESIGUALDAD DE LAS MEDIAS
V. Hugo Laurente Artola

´
Area de divulgaci´n Matem´tica, Departamento de Olimpiadas Matem´ticas, Instituto de
o
a
a
Ciencias y Humanidades, Lima - Per´
u

———————————————————————————————————————
Resumen. En este documento se expone de manera susinta las relaciones elementales entre las medias aritm´tica y geom´tricaprincipalmente, a modo de introduce
e
ci´n al estudio de las desigualdades, que iremos desarrollando en art´
o
ıculos posteriores, adem´s se propone un problema de entrenamiento.
a
Abstract. In this document some elementary theorems are exposed in a summarized way on the inequality arim´tica and geometric principally.
e

1. Introducci´n.
o
En Mesopotamia ya conoc´ las tres medias, aritm´tica ,geom´trica y arm´nica y es
ıan
e
e
o
donde el famoso matem´tico griego Pit´goras aprendi´. Despu´s Pappus en su libro de
a
a
o
e
geometr´ incluye la teor´ de las medias y da una construcci´n geom´trica muy elegante
ıa
ıa
o
e
incluyendo las tres medias, dicha construcci´n se presenta en la fig.1
o
donde:
OD: Es la media aritm´tica de los segmentos AB y BC
e
DB: Es la media geom´tricade los segmentos AB y BC
e
DF: Es la media arm´nica de los segmentos AB y BC
o

Figura 1: Representaci´n gr´fica de las medias.
o
a

1

Podemos observar geom´tricamente que
e
OD ≥ DB ≥ DF
Vemos que
AC = a + b entonces
OD = OC =

a+b
2

es decir OD es la media aritm´tica de
e
AB y BC
OB =

a+b
a−b
−b=
2
2

luego:
(BD)2 = (OD)2 − (OB)2
(BD)2 = (
BD =

√

a+b 2a−b 2
) −(
) = ab
2
2

ab;

es la media geom´trica de los segmentos AB y BC, utilizando la semejanza de tri´ngulos
e
a
tenemos
DF =

2ab
2
=
1 1
a+b
+
a b

es la media arm´nica de los segmentos AB y BC ; geom´tricamente podemos afirmar que
o
e
a+b √
2
≥ ab ≥
1 1
2
+
a b
veamos algebraicamente: √ √
sean a, b, ∈ + ; entonces a, b, ∈

√
√
luego ( a − b)2 ≥ 0 ,efectuando
√
a + b ≥ 2 ab
a+b √
≥ ab
2

en (1) multiplicando por

√

+

ab miembro a miembro y efectuando, se tiene

2

(1)
(2)

√

√
ab(a + b) ≥ 2( ab)2
√
ab(a + b) ≥ 2ab
√
2ab
ab ≥
a+b
√
2
ab ≥
1 1
+
a b

por lo tanto
a+b √
2
≥ ab ≥
1 1
2
+
a b
Como vemos est´ probado para dos cantidades, en seguida veamos para tres cantidades
a
positivas
Afirmaci´n:o
a+b+c √
3
≥ abc ; a, b, c ∈
3

+

Utilizando la identidad de Gauss:
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz)
1
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz =
(x + y + z)((x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ) ≥ 0
2
entonces
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz ≥ 0 x, y, z ∈
Haciendo
x=

√
3

a, y =

√
3

b, z =

√
3

c

tenemos:
√
3
a + b + c − 3 abc ≥ 0
√
3
a + b + c ≥ 3abc
a+b+c √
3
≥ abc
3
As´ mismo veamos para cuatro cantidades positivas
ı

3

+

Afirmaci´n:
o
a+b+c+d √
4
≥ abcd
4
en efecto
a+b c+d
+
a+b+c+d
2
2
=
4
2
≥

(

a+b c+d
)(
)≥
2
2

√ √
√
4
ab cd = abcd

de donde
a+b+c+d √
4
≥ abcd
4
2. Teorema(media aritm´tica- geom´trica)
e
e
Sean a1 , a2 , ..., an n´meros reales positivos, entonces:
u
√
a1 + a2+ ... + an
≥ n a1 a2 ...an
n
En las olimpiadas internacionales de matem´tica como IMO, APMO, y otras , en
a
´lgebra en la parte de desigualdades, muchos problemas se pueden resolver tan s´lo utia
o
lizando ´sta magnifica propiedad. En seguida veamos una demostraci´n de la mencionada
e
o
propiedad.
Sea la proposici´n Pn = {M A ≥ M G, para n n´meros positivos }; para n=2 la deo
usigualdad es verdadero, en efecto probaremos por inducci´n de la siguiente manera.
o
i)partiendo de Pn debemos implicar Pn−1 (Pn ⇒ Pn−1 )
ii )partiendo de Pn debemos implicarP2n (Pn ⇒ P2n )
si ´sto se verifica entonces Pn se cumple para todo n ∈ N, en efecto:
e
i)veamos (Pn ⇒ Pn−1 )
√
sea MG= n−1 a1 a2 ...an−1
entonces
(M G)n−1 = a1 a2 ...an−1
de Pn se tiene

4

a1 + a2 + ... + an−1 + M...