Desigualdades

Capítulo 9
Desigualdades

En matemáticas una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estosdos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente.

Desigualdades
Una igualdad es una oración
matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:

 
6 + 4  = 10
x + 6 = 10

Una
igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita)  se llama ecuación.
Por ejemplo:
 
x + 6 = 10
 
Unadesigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad.
Los signos de desigualdad son:
      no es
igual
<     menor que
>    mayor que 
      menor o
igual que
      mayor o igual que

Una
desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por
ejemplo:

 
x + 3 < 7
 
(La
punta del signo < siempre señala el menor)

Ej.  3 < 4,       4 > 3¿Cómo
resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las
desigualdades. Por ejemplo:
1 <  6
1 + 5 <
 6 + 5
 
¿Esto
es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue
cierta.

 
Otro
ejemplo:
2  < 6
2 + -9
 <
 6 + -9
 
Esto
es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un númeronegativo.

 
Otro
ejemplo con resta:
7  > 4
7 - 3
 > 4 – 3
 
La
desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.

 
Aquí
tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados
de la desigualdad:
        2  < 8
2 - (-3)
 <  8 - (-3)  Restar un número es igual que sumar su opuesto   2 + 3  <  8 + 3         5  < 11 |

 
Ladesigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.

 

 
Multiplicación
con números positivos:
3 < 7
3 * 6  <  7 * 6
La
desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.

 

 
Multiplicación
con números negativos:
      4  >  1
 4 · -2  >  1 · -2
     -8 > -2 
 Falso |

Nota: La desigualdad  cambia en
este caso, ya que -8no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número
negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2
Ahora,
la desigualdad es cierta.

 
División
con positivos:
   3 <  93/3
 <
 9/3Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
  
1  < 3 |
La desigualdad es
cierta.

División con negativos:
   4  < 124/-2 <  12/-2Sidividimos ambos lados de la desigualdad por -2
   -2
 <   -6     falso |
Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
 
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.

-2  >  -6
Ahora la desigualdad es cierta.

En
resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad
por un número negativo.

 
Ejemplos:
Resolver
la siguienteinecuación para verificar si el número dado es solución.

 
Ejemplo
1:      x + 3 < 6     ; 
x = 5

 
                
x + 3 < 6    [Ahora, se
sustituye x por 5.]
                5 + 3<6   [ Simplificar]
                   
   8 < 6
¿
8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.

 
Ejemplo
2:       x  - 3   8     
;      x = 11
                     11- 3  8
                           
8   8
¿8
es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y
podemos concluir que x=11 es una solución.

 

 
Ejemplos:
Resolver
la inecuación.
Ejemplo
1:
                
x + 4 < 7                              
Hay que resolver la inecuación
                      
x < 7 + - 4                     Combinar los...