Determinante

DETERMINANTES
Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A, denotado como “det A”. Los determinantes nos proporcionan un método para el cálculo de la matriz inversa (en caso de existir) y un criterio para estudiar si una matriz es o no invertible. Sus aplicaciones son múltiples en todas las ramas de las ciencias que tratan problemas lineales en los que necesariamenteaparecen matrices y por tanto, determinantes. Si A es una matriz cuadrada de primer orden, entonces A tiene sólo un elemento. Así, A  a11  y definimos “det A” = a11 Si A es una matriz cuadrada de segundo orden, entonces

a12  a  A   11 a a22   21 
El determinante de A está definido por

"det A"  a11a22  a21a12

Definición del determinante de una matriz A de 2x2

a12  a  a11a22  a21a12 "det A"   11 a   21 a22  El determinante de una matriz se expresa como " det A" o A para este texto utilizaremos la notación " det A"

 Ejemplo1: Búsqueda del determinante de una matriz de 2x2
Encontrar “det A” si A   

 3  2  4  6  

SOLUCIÓN

 3  2 "det A"    4  6   (3)( 6)  (4)( 2)  18  8  10   

Los menores y los cofactores sonde gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1. Definición de menores y cofactores Sea A  aij una matriz cuadrada de orden n>1 1) El Menor M ij del elemento aij es el determinante de la matriz de orden n-1 obtenido al borrar el renglón i y la columna j. 2) El cofactor Aij del elemento aij es Aij  (1) i  j M ij Para hallar el menor de un elemento, borramos el renglón yla columna en que aparece el elemento y luego encontramos el determinante de la matriz cuadrada resultante. Docente: Jaime H. Ramírez Rios 1

 

Para obtener el cofactor de aij de una matriz cuadrada A  aij , encontramos el menor y lo multiplicamos por 1 ó -1, dependiendo de si la suma de i y j es par o impar, respectivamente. Otra forma de recordar el signo (1) i  j asociado con elcofactor Aij es considerar la siguiente tabla de signos más y menos

 

       

    

    

    

       

 2 1 5   Ejemplo2: Si A   4 3 0  , buscar M11 M 22 M 32 A11 A22 y A32  1  3 4  
SOLUCIÓN Al borrar las filas y columnas de A apropiados obtenemos

 3 0 M11     3 4   (3)( 4)  (3)(0)  12     2 5 M 22    1 4  (2)( 4)  (1)(5)  8  5  3     2 5 M 32    4 0   (2)(0)  (4)(5)  20    Para obtener los cofactores, utilizamos la fórmula Aij  (1) i  j M ij
A11  (1)11 M11  (1)(12)  12

A22  (1) 2  2 M 22  (1)(3)  3
A32  (1)3 2 M 32  (1)( 20)  20
El determinante “det A” de una matriz cuadrada de tercer orden se define así: Definición del determinante de una matriz Ade 3x3

 a11 a12  " det A"   a21 a22 a  31 a32

a13   a23   a11 A11  a12 A12  a13 A13 a33  

Docente: Jaime H. Ramírez Rios

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Así el determinante se halla al multiplicar cada elemento de la fila uno por su cofactor y sumarlos, esto se conoce como expandir fila uno ( ExpF ) . Para hallar el determinante de una matriz se puede expandir 1 cualquier de las tres filas ocolumnas así: ExpF2 = a21 A21  a22 A22  a23 A23 ExpF3 = a31 A31  a32 A32  a33 A33 ExpC1 = a11 A11  a21 A21  a31 A31 ExpC2 = a12 A12  a22 A22  a32 A32 ExpC3 = a13 A13  a23 A23  a33 A33

Ejemplo3:
 2 3 1   Encuentre "det A" si A   5 1 4   1 2 3  
SOLUCIÓN Vamos a expandir la fila dos

ExpF2  a21 A21  a22 A22  a23 A23 "det A"  5 A21  A22  4 A23
Debemos hallar losmenores y multiplicarlos por los cofactores. Para hallar el M 21 eliminamos la fila dos y la columna uno así:

 2 3 1   A   5 1 4  Y lo multiplicamos por el cofactor A21  1 2 3  
 3 1 M 21    2 3   (3)(3)  (2)(1)  9  2  7   
A21  (1) 2 1 M 21  (1)(7)  7
Para hallar el M 22 eliminamos la fila dos y la columna dos así:

 2 3 1   A   5 1 4  Y lo...