Determinantes. (matemática)
Páginas: 5 (1047 palabras)
Publicado: 11 de octubre de 2010
DETERMINANTES
Si resolvemos un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas en forma genérica nos queda algo así:
[pic]
Multiplicando la primera por e y a la segunda por b y restándolas:
[pic]
Dividiendo ambos miembros por (ae - db)
[pic]
En forma equivalente llegaríamos a despejar la y:
[pic]
Cabe aclarar que depende del orden en que hayamos hecho el despejepodemos llegar a otras expresiones equivalentes pero elegimos ésta para que el denominador quede igual que en la expresión de x.
Si revisamos estas expresiones podemos observar que tanto en los numeradores como denominadores se repiten las estructuras: la resta de 2 productos.
Para que estos despejes tengan validez y por lo tanto podamos calcular los valores de x e y, se tiene que cumplir unacondición:
[pic]
y como esta condición es la que determina que podamos calcular los valores de x e y, al resultado de ae - db se lo llama determinante.
Por similitud con la disposición que guardan los coeficientes en el sistema de ecuaciones se lo representa de la siguiente manera:
[pic]
o también con la letra Δ.
Veamos un ejemplo:
[pic]
El determinante para estesistema sería:
[pic]
Por la similitud entre las estructuras de los numeradores y denominadores en los despejes de x e y podemos escribir:
[pic] [pic]
donde Δx es otro determinante que se arma reemplazando la columna de los coeficientes de la x por los términos independientes y en Δy la columna que hay que reemplazar es la de los coeficientes de la y.
En nuestro ejemplo:
[pic][pic]
[pic]
[pic]
A esta manera de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la división entre 2 determinantes se la denomina “regla de Cramer”.
¿Qué sucedería si trabajamos con un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas?
[pic]
Las posibles expresiones que encontraríamos para las incógnitas podrían ser:
[pic]
[pic]
[pic]
como se puede observar,también se repite otra estructura en los numeradores y en los denominadores: sumas y restas entre productos de 3 factores. Por supuesto que hay varias maneras de despejar y ésta es solo una de ellas, pero es la que se eligió para armar el determinante de 3er grado que se representa así:
[pic]
Armar su representación a partir del sistema de ecuaciones no causa ningún problema, pero armar sudesarrollo, ya sea a partir de su representación o del sistema, no es tan fácil. Para recordarlo hay varias reglas. Si observamos, todos los términos están formados por 3 factores, todos de distinta fila (horizontal) y distinta columna (vertical), y son 6 las maneras de hacer estas agrupaciones; el asunto es con qué signo va cada uno. 3 de estos términos conservan su signo (van sumando):
[pic]y los otros 3 los cambian (van restando):
[pic]
Otra manera de recordar es la regla de Sarrus. Esta regla propone reescribir las 2 primeras filas debajo de la 3ª, de esta manera se forman 3 diagonales descendentes que mantienen su signo y 3 diagonales ascendentes que cambian su signo.
[pic]
También en los sistemas de 3x3 se cumple la regla de Cramer:
[pic]
Δx, Δy y Δz seconstruyen de la misma forma que en los sistemas de 2x2, reemplazando la columna de la variable correspondiente por la de los términos independientes.
También se puede pensar un procedimiento similar para sistemas de orden mayor a 3, en general cumplen con las mismas indicaciones que en los de orden 2 y 3 pero, por ejemplo, el de 4x4 tiene 24 términos por lo que es evidente que la regla de Sarrusno sirve en estos casos.
¿Cómo podemos resolverlos entonces? Hay otra regla que sirve para todos los determinantes y es la regla de Laplace.
Esta regla consiste en desarrollar el determinante por una fila o columna. Esto consiste en elegir una fila o columna y armar un término con cada uno de sus elementos multiplicado por el determinante que resulta al eliminar la fila y la columna de...
Si resolvemos un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas en forma genérica nos queda algo así:
[pic]
Multiplicando la primera por e y a la segunda por b y restándolas:
[pic]
Dividiendo ambos miembros por (ae - db)
[pic]
En forma equivalente llegaríamos a despejar la y:
[pic]
Cabe aclarar que depende del orden en que hayamos hecho el despejepodemos llegar a otras expresiones equivalentes pero elegimos ésta para que el denominador quede igual que en la expresión de x.
Si revisamos estas expresiones podemos observar que tanto en los numeradores como denominadores se repiten las estructuras: la resta de 2 productos.
Para que estos despejes tengan validez y por lo tanto podamos calcular los valores de x e y, se tiene que cumplir unacondición:
[pic]
y como esta condición es la que determina que podamos calcular los valores de x e y, al resultado de ae - db se lo llama determinante.
Por similitud con la disposición que guardan los coeficientes en el sistema de ecuaciones se lo representa de la siguiente manera:
[pic]
o también con la letra Δ.
Veamos un ejemplo:
[pic]
El determinante para estesistema sería:
[pic]
Por la similitud entre las estructuras de los numeradores y denominadores en los despejes de x e y podemos escribir:
[pic] [pic]
donde Δx es otro determinante que se arma reemplazando la columna de los coeficientes de la x por los términos independientes y en Δy la columna que hay que reemplazar es la de los coeficientes de la y.
En nuestro ejemplo:
[pic][pic]
[pic]
[pic]
A esta manera de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la división entre 2 determinantes se la denomina “regla de Cramer”.
¿Qué sucedería si trabajamos con un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas?
[pic]
Las posibles expresiones que encontraríamos para las incógnitas podrían ser:
[pic]
[pic]
[pic]
como se puede observar,también se repite otra estructura en los numeradores y en los denominadores: sumas y restas entre productos de 3 factores. Por supuesto que hay varias maneras de despejar y ésta es solo una de ellas, pero es la que se eligió para armar el determinante de 3er grado que se representa así:
[pic]
Armar su representación a partir del sistema de ecuaciones no causa ningún problema, pero armar sudesarrollo, ya sea a partir de su representación o del sistema, no es tan fácil. Para recordarlo hay varias reglas. Si observamos, todos los términos están formados por 3 factores, todos de distinta fila (horizontal) y distinta columna (vertical), y son 6 las maneras de hacer estas agrupaciones; el asunto es con qué signo va cada uno. 3 de estos términos conservan su signo (van sumando):
[pic]y los otros 3 los cambian (van restando):
[pic]
Otra manera de recordar es la regla de Sarrus. Esta regla propone reescribir las 2 primeras filas debajo de la 3ª, de esta manera se forman 3 diagonales descendentes que mantienen su signo y 3 diagonales ascendentes que cambian su signo.
[pic]
También en los sistemas de 3x3 se cumple la regla de Cramer:
[pic]
Δx, Δy y Δz seconstruyen de la misma forma que en los sistemas de 2x2, reemplazando la columna de la variable correspondiente por la de los términos independientes.
También se puede pensar un procedimiento similar para sistemas de orden mayor a 3, en general cumplen con las mismas indicaciones que en los de orden 2 y 3 pero, por ejemplo, el de 4x4 tiene 24 términos por lo que es evidente que la regla de Sarrusno sirve en estos casos.
¿Cómo podemos resolverlos entonces? Hay otra regla que sirve para todos los determinantes y es la regla de Laplace.
Esta regla consiste en desarrollar el determinante por una fila o columna. Esto consiste en elegir una fila o columna y armar un término con cada uno de sus elementos multiplicado por el determinante que resulta al eliminar la fila y la columna de...
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