Determinantes

DETERMINANTES
La función determinante es una función con valores reales de una variable matricial, en el sentido de que asocia un número real con una matriz.
De acuerdo con el teorema 1,4, 5 la matriz
A= abcd
es invertible si ad – bc es diferente de cero. La expresión ad – bc aparece con tanta frecuencia en matemáticas que tiene un nombre; se llama determinante de la matriz A 2 x 2, y sedenota por el símbolo det(A). Con esta notación, la inversa de A se puede por expresar como:
A-1=1det(A)d-b-ca

PERMUTACIONES
Una permutación del conjunto de enteros {1,2,……n} es un arreglo de éstos en algún orden sin omisiones ni repeticiones.
Por ejemplo.- Existen seis permutaciones diferentes del conjunto de enteros {1, 2, 3} que son
1,2,32,1,33,1,21,3,22,3,13,2,1 ∆
Un método convenientepara enumerar sistemáticamente las permutaciones es por medio de un árbol de permutaciones.
EVALUACIÓN DE DETERMINANTES
La evaluación directa de determinantes a partir de la definición conduce a dificultades de cómputo. La evaluación directa de un determinante de 4 x 4 podría incluir el cálculo de 4!= 24 productos elementales con signo, y un determinante de 10 x 10 incluiría el cálculo de de 10!=3 628 800 productos elementales con signo. Aplicando este método, inclusive la computadora digital mas rápida es incapaz de manejar en una cantidad razonable de tiempo el cálculo de un determinante 25 x 25.

EVALUACIÓN DE DETERMINANTES POR REDUCCIÓN DE RENGLONES
Se empezará con un teorema fundamental sobre determinantes.
Sea A una matriz cuadrada:
a) Si A tiene un renglón de ceroso una columna de ceros, entonces det(A)=0
b) det(A)=det(AT).
Demostración de a) Como todo producto elemental con signo de A tiene un factor de cada renglón y un factor de cada columna, entonces todo producto elemental con signo tiene necesariamente un factor de un renglón cero o de una columna cero. En estos casos, todo producto elemental con signo es cero, y det(A), que es la suma de losproductos elementales con signo, es cero.
Se omite la demostración de b), pero recuerda que un producto elemental tiene un factor de cada renglón y un factor de cada columna, de modo que es evidente que A y AT tienen el mismo conjunto de productos elementales. Mediante algunos teoremas de permutaciones, cuyo análisis llevaría demasiado lejos, se puede demostrar que en realidad A y AT tienen elmismo conjunto de productos elementales con signo.
DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES
Recordar que una matriz elemental se obtiene cuando se efectúa una sola operación elemental en los renglones de una matriz de identidad; así, si se hace que A=In , de modo que se tiene det(A)=det(In) =1, entonces la matriz B es una matriz elemental y el teorema conduce al siguiente resultado sobre determinantesde matrices elementales.
Sea E una matriz elemental de n x n.
a) Si E se obtiene al multiplicar por k un renglón de In a otro renglón entonces det(E)=k
b) Si E se obtiene al intercambiar dos renglones de In, entonces det(E)=-1
c) Si E se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón de In a otro renglón entonces det(E)= 1

Por ejemplo: Los siguientes determinantes de matriceselementales, que se evalúan por inspección, ilustran el teorema anterior:
El segundo renglón de I4 se multiplico por 3
1003000000001001=3
Se intercambiaron los renglones primero y ultimo de I4
0001010001001000=-1
El último renglón de I4 se sumó 7 veces al primer renglón
1001070000001001=1 ∆
DETERMINANTES CON RENGLONES O COLUMNAS PROPORCIONALES
Si una matriz cuadrada A tiene dos renglonesproporcionales, entonces se puede introducir un renglón de ceros sumando un múltiplo adecuado de uno de los otros renglones a otro renglón. Esto demuestra el siguiente teorema.
Si A es una matriz cuadrada con dos renglones o dos columnas proporcionales, entonces det=(A) =0
Por ejemplo, el siguiente cálculo demuestra la introducción de un renglón de ceros cuando hay dos renglones proporcionales:...