Diferencias divididas de orden superior

Concepto y definición de la metodología

Los métodos para determinar la representación explicita de un polinomio interpolante a partir de datos tabulados se conocen como métodos de diferencia dividida.
La interpolación polinomial consiste en determinar el polinomio único de n-esimo grado que se ajuste a n+1 puntos. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular valores intermedios.Una de las formas matemáticas en cual puede expresarse este polinomio, la cual es una alternativa para implementarse en computadora es el polinomio de Newton en diferencias divididas.
En análisis numérico, el método de las diferencias finitas es un método utilizado para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas paraaproximar derivadas. Para tales aproximaciones hace uso de aproximaciones por diferencias finitas centrales, hacia atrás y hacia delante de la primera y segunda derivada.
La interpolación iterada genera aproximaciones polinomicas cada vez de mayor grado en un punto específico. Los métodos de diferencias divididas sirven para generar sucesivamente los polinomios.
Supongamos que Pn(x) es el polinomiode Lagrange de enésimo grado que concuerda con la función f en los números distintos x0, x1, …, xn. las diferencias divididas de f respecto a x0, x1, …, xn se derivan para expresar Pn(x) en la forma

Pn(x) = a0 + a1 (x-x0) + a2 (x-x0) (x-x1) + … + an (x-x0) (x-x1) …(x-xn-1) …..(1)

para las constantes apropiadas a0, a1 ,…, an
Para determinar la primera de las constantes, a0 note que,si Pn(x) esta escrito en la forma de la ecuación (1), entonces al evaluar Pn(x) en x0 queda solo el termino constante a0; es decir,
a0 = Pn(x0) = f(x0)
de manera similar, cuando se evalua P(x) en x1, los únicos términos no ceros en la evaluación de Pn(x1) son los términos constante y lineal,
f(x0) + a1 (x1-x0) = Pn(x1) = f(x1).
Asi que
[pic] .....(2)

Ahora es necesariopresentar la notación de diferencias divididas. La diferencia dividida cero de la función f con respecto a xi, que se denota como f[xi], es simplemente el valor de f en xi;
f[xi] = f(xi) …..(3)
El resto de las diferencias divididas se define en forma inductiva. La primera diferencia dividida de f respecto a xi y xi+1 se denota f[xi, xi+1] y se define asi

[pic] …..(4)

Lasegunda diferencia dividida f[xi, xi+1, xi+2] se define como sigue
[pic]

De forma análoga, después de determinar (k-1) diferencias divididas,
f[xi, xi+1, xi+2,…, xi+k-1] y f[xi, xi+1, xi+2,…, xi+k-1, xi+k]
la k-esima diferencia dividida relativa a xi, xi+1, xi+2, …, xi+k esta dada por

[pic]..(5)

Con esta notación, podemos reexpresar la ecuación (2) como a1 = f[x0, x1] yel polinomio interpolante de la ecuación (1) es

[pic]

Tras evaluar a0 y a1, las constantes requeridas son
ak = f[x0, x1, x2,…, xk],
para cada k = 0,1,…,n. Por tanto, se puede reescribir Pn(x) como

[pic] …(6)

el valor de f[x0, x1, x2,…, xk] es independiente del orden de los números x0, x1, x2,…, xk. A esta ecuación se le conoce con el nombre de fórmula de diferenciasdivididas interpolantes de Newton. En la siguiente tabla se describe esquemáticamente la determinación de las diferencias divididas obtenida de los puntos de datos tabulados.

|x |f(x) |Primeras Diferencias Divididas|Segundas Diferencias Divididas |Terceras Diferencias Divididas |
|x0 |f[x0] | || |
| | |[pic] | | |
|x1 |f[x1] | |[pic] | |
| | |[pic]...