Guia Diferencias Finitas

rencias finitasUniversidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Apuntes y Ejercicios

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

1.-

Utilizando desarrollos de Taylor deducir el término del error para las fórmulas de diferenciación numérica que se proporcionan y averiguar cual de ellas es más exacta. f ( x + h) − f ( x −h) a) f ' ( x) ≈ 2h − 3 f ( x ) + 4 f ( x + h) − f ( x + 2h) b) f ' ( x) ≈ 2h f ( x ) − 2 f ( x + h ) + f ( x + 2h) c) f " ( x) ≈ h2

2.-

Encontrar A1 y A2 para que la siguiente fórmula de diferenciación numérica f ' ( x) ≈ A1 f (0) + A2 f ( 1 ) sea exacta para las funciones f(x)=1 y f(x)=x. 2 Deducir justificadamente la fórmula de discretización para f’(x) dada a 13 1  continuación f ' (x) ≈ −  f ( x) − 2 f ( x + h) + f ( x + 2h)  . h2 2 

3.-

4.-

Hallar una fórmula de aproximación para la derivada segunda que utilice los valores de f en x, x+h y x+2h. Suponga que desea calcular f’(x) en un valor x dado, usando para un valor h f ( x + h) − f ( x − h) pequeño la expresión T (h) = . 2h a) ¿Qué valor de h conviene elegir? Justifique su respuesta. b) Si ya calculó elvalor de T(h) para 2 valores distintos de h, ¿cómo usa la extrapolación de Richardson para hallar una mejor aproximación?. Comprobar que la aproximación de Euler simple de la solución del problema y ' = −5 y , y (0) = 1 , utilizando un paso constante h, es y n = (1 − 5h) n . Calcular entonces el error exacto en t = 1 utilizando h = 0.1.

5.-

6.-

7.-

Los métodos de Taylor se pueden utilizarpara construir métodos de orden superior al de Euler, pero manteniendo la propiedad de ser explícitos. El inconveniente que plantean es que requieren de la evaluación de las derivadas de f(t,y). La idea consiste en desarrollar y (t n + 1) en serie de Taylor truncando a cierto orden. Aplicar un método de Taylor de orden 2 al problema de valor inicial dado en (6), compare sus resultados con losobtenidos por Euler en dicho problema. Considere el problema de valor inicial: y" ( x) + y ( x) = e 2 x + 1 y (0) = 0, y ' (0) = 0 a) Expresar el problema de valor inicial en forma vectorial. b) Utilizando el método de Euler con h=0.1, estime el valor aproximado de la solución en x=0.2. c) Compare el valor obtenido en (b) con el valor exacto. Considere el problema de valor inicial: y"−5 y '+6 y = 2 x+ 1
4 y (0) = 9 , y ' (0) = 1 3 a) Calcule una aproximación de la solución en x=0.1, usando el método semiimplícito dado en clases. x 4 b) Usando el hecho que la familia y ( x, A, B) = Ae 2 x + Be 3 x + 3 + 9 es la solución exacta de la ecuación diferencial, determine el error que se comete  y al calcular el vector u =   . Use norma infinito.  y'   

8.-

9.-

10.-

2 2 Un ciertofenómeno físico se rige por la ecuación y"+2αwy'+ w y =

F (t ) , M

con y(2)=0 e y(4)=0.5, además w=200, α=0.01, F(t)=3sin(200t) y M=1 con tamaño de paso h=0.5. a) Plantear el sistema asociado con el problema anterior, usando el método de diferencias finitas. b) Realice dos iteraciones del Método de Broyden (o el de Newton- Raphson) para obtener una aproximación a la solución del sistema dela parte a). 11.5 y con x∈[1,4] y x condiciones de contorno y’(1)=α, y(4)=β, con α,β∈IR dados. Plantear un método de diferencias finitas para aproximar el problema de valor de contorno dado, usando diferencias centradas para la ecuación diferencial del problema y descentrada para la condición de contorno sobre la derivada. Escribir el sistema lineal de ecuaciones al que da lugar este método ydeterminar condiciones suficientes para que este sistema tenga una única solución. Considere el problema de valor de contorno y" = y '+ Usando diferencias finitas con h=0.5 resolver el PVF u" = u con las condiciones de contorno u’(1)=1.17520, u’(3)=10.01787.

12.-

13.-

Considere el PVF u xx + u yy = 0 , en el interior del cuadrado [0,0.5]x[0,0.5] con las condiciones de frontera: u(0,y)=0,...