Guia Diferencias Finitas

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Apuntes y Ejercicios

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

1.-

Utilizando desarrollos de Taylor deducir el término del error para las fórmulas
de diferenciación numérica que se proporcionan y averiguar cual de ellas es más
exacta.
f ( x + h) − f ( x − h)
a) f ' ( x) ≈
2h
−3 f ( x ) + 4 f ( x + h) − f ( x + 2h)
b) f ' ( x) ≈
2h
f ( x ) − 2 f ( x + h ) + f ( x + 2h)
c) f " ( x) ≈
h2

2.-

Encontrar A1 y A2 para que la siguiente fórmula de diferenciación numérica
f ' ( x) ≈ A1 f (0) + A2 f ( 12 ) sea exacta para las funciones f(x)=1 y f(x)=x.

3.-

Deducir justificadamente la fórmula de discretización para f’(x) dada a
13
1

continuación f ' ( x) ≈ −  f ( x) − 2 f( x + h) + f ( x + 2h)  .
2
h2


4.-

Hallar una fórmula de aproximación para la derivada segunda que utilice los
valores de f en x, x+h y x+2h.

5.-

Suponga que desea calcular f’(x) en un valor x dado, usando para un valor h
f ( x + h) − f ( x − h)
.
pequeño la expresión T (h) =
2h
a) ¿Qué valor de h conviene elegir? Justifique su respuesta.
b) Si ya calculó el valor de T(h) para 2 valoresdistintos de h, ¿cómo usa la
extrapolación de Richardson para hallar una mejor aproximación?.

6.-

Comprobar que la aproximación de Euler simple de la solución del problema
y ' = −5 y , y (0) = 1 , utilizando un paso constante h, es y n = (1 − 5h) n . Calcular
entonces el error exacto en t = 1 utilizando h = 0.1.

7.-

Los métodos de Taylor se pueden utilizar para construir métodos de ordensuperior al de Euler, pero manteniendo la propiedad de ser explícitos. El
inconveniente que plantean es que requieren de la evaluación de las derivadas de
f(t,y). La idea consiste en desarrollar y (t n + 1) en serie de Taylor truncando a
cierto orden. Aplicar un método de Taylor de orden 2 al problema de valor
inicial dado en (6), compare sus resultados con los obtenidos por Euler en dicho
problema.8.-

Considere el problema de valor inicial:
y" ( x) + y ( x) = e 2 x + 1
y (0) = 0, y ' (0) = 0
a) Expresar el problema de valor inicial en forma vectorial.
b) Utilizando el método de Euler con h=0.1, estime el valor aproximado de la
solución en x=0.2.
c) Compare el valor obtenido en (b) con el valor exacto.

9.-

Considere el problema de valor inicial:
y"−5 y '+6 y = 2 x + 1
y (0) = 94 , y ' (0) =13
a) Calcule una aproximación de la solución en x=0.1, usando el método semiimplícito dado en clases.
b) Usando el hecho que la familia y ( x, A, B) = Ae 2 x + Be 3 x + 3x + 94 es la
solución exacta de la ecuación diferencial, determine el error que se comete
 y
al calcular el vector u =   . Use norma infinito.
 y' 

10.-

2 2
Un cierto fenómeno físico se rige por la ecuación y"+2αwy'+ wy =

F (t )
,
M

con y(2)=0 e y(4)=0.5, además w=200, α=0.01, F(t)=3sin(200t) y M=1 con
tamaño de paso h=0.5.
a) Plantear el sistema asociado con el problema anterior, usando el método de
diferencias finitas.
b) Realice dos iteraciones del Método de Broyden (o el de Newton- Raphson)
para obtener una aproximación a la solución del sistema de la parte a).
11.-

12.-

5
y con x∈[1,4] y
x
condicionesde contorno y’(1)=α, y(4)=β, con α,β∈IR dados.
Plantear un método de diferencias finitas para aproximar el problema de valor de
contorno dado, usando diferencias centradas para la ecuación diferencial del
problema y descentrada para la condición de contorno sobre la derivada. Escribir
el sistema lineal de ecuaciones al que da lugar este método y determinar
condiciones suficientes para que estesistema tenga una única solución.
Considere el problema de valor de contorno y" = y '+

Usando diferencias finitas con h=0.5 resolver el PVF u" = u con las
condiciones de contorno u’(1)=1.17520, u’(3)=10.01787.

13.-

Considere el PVF u xx + u yy = 0 , en el interior del cuadrado [0,0.5]x[0,0.5] con
las condiciones de frontera: u(0,y)=0, u(x,0)=0, u(x,0.5)=200x, u(0.5,y)=200y.
Calcular mediante...