Diferencias Finitas

Cap´
ıtulo 4
El m´todo de Diferencias Finitas
e
La idea del m´todo de Diferencias Finitas consiste en aproximar las derivadas que
e
aparecen en el problema de ecuaciones diferenciales ordinarias (e.d.o.) de forma que se
reduzca a resolver un sistema lineal. Una vez definido el sistema lineal se estudiar´ teniendo
a
en cuenta los resultados de los Temas 1 y 2.
Comenzamos viendo el m´todode Diferencias Finitas para un problema de contorno
e
de segundo orden lineal. En concreto, consideramos la ecuaci´n lineal:
o
x (t) = p(t) x (t) + q (t)x(t) + r (t) t ∈ [a, b]

(4.1)

con
x(a) = α,

x(b) = β.

Recordamos que, seg´ n vimos en el tema anterior, suponemos que
u
q (t) > 0 y que p(t) est´ acotada,
a
bajo estas condiciones el problema de contorno tiene soluci´n.
oHagamos una partici´n de [a, b], donde:
o
a = t0 < t1 < . . . < tN = b,
b−a
tj = a + j h j = 0, 1, . . . , N
N
Usando las f´rmulas de diferencias centradas para aproximar las derivadas tenemos (En
o
h=

el Ap´ndice de este tema se explica como se deduce la siguiente igualdad):
e
x (tj ) =

x(tj +1 ) − x(tj −1 )
+ O (h2 )
2h
65

(4.2)

66
x(tj +1 ) − 2x(tj ) + x(tj −1 )
+ O(h2 )
2
h
Reemplazando (4.2) y (4.3) en (4.1), aproximando xj ≈ x(tj ) ∀ j , obtenemos:
x (tj ) =

xj +1 − 2 xj + xj −1
+ O (h2 ) = p(tj )
2
h

(4.3)

xj +1 − xj −1
+ O (h2 ) + q (tj )xj + r (tj )
2h

(4.4)

Eliminando los t´rminos de orden O (h2 ) en (4.4) e introduciendo la notaci´n pj = p(tj ),
e
o

qj = q (tj ), rj = r (tj ), obtenemos la ecuaci´n en diferencias:
o

xj+1 − xj −1
xj −1 − 2 xj + xj −1
= pj
+ q j xj + r j
2
h
2h

(4.5)

que se usa para calcular aproximaciones num´ricas a la soluci´n de la ecuaci´n diferencial
e
o
o
(4.1).
Reagrupando, teniendo en cuenta que las inc´gnitas son xj j = 1, . . . , N , tenemos el
o
sistemas lineal de ecuaciones:

2
 −h p − 1 x

j
j −1 + 2 + h qj xj +


2



h
pj − 1 xj +1 = −h2 rj2

j = 1, 2, . . . , N − 1


 x0 = α




xN = β

(4.6)

El sistema (4.6) es un sistema tridiagonal de N − 1 ecuaciones y N − 1 inc´gnitas,
o

x1 , . . . , xN −1 (pues x0 y xN son datos, las condiciones de contorno del problema). En
notaci´n matricial podemos escribirlo como
o
A x = b,



donde x = 



x1
.
.
.
xN −1

2 + h 2 q1




,



−p2 h/2 − 1



A=






p1 h/2 − 1
2 + h 2 q2

0

...

...

0

p2 h/2 − 1
..
.

...

...

0

−pj h/2 − 1 2 + h2 qj

pj h/2 − 1
..
.
−pN −1 h/2 − 1 2 + h2 qN −1














67
Adem´s, si denotamos e0 = (p1 h/2 + 1)α, eN = (−pN −1 h/2 + 1)β , tenemos
a


−h2 r1 + e0




−h2 r2




.
.


.
b=


−h2 rj




.


.
.


2
−h rN −1 + eN

Aplicamos ahora algunos de los resultados que hemos estudiado para resoluci´n num´rio
e

ca de sistemas lineales. Por ejemplo, veamos si podemos utilizar los m´todos iterativos de
e
Jacobi y Gaus-Seidel. Uno de los criterios para ver si ambos m´todos son convergentes es
e
probar que la matriz es estrictamente diagonaldominante. Para ello, tenemos que ver que
|2 + h2 qj | > |1 + pj h/2| + |1 − pj h/2|,

j = 1, . . . , N − 1.

Por un lado tenemos que h es el tama˜ o de paso en la discretizaci´n, por lo que lo podemos
n
o
tomar suficientemente peque˜ o, de forma que
n
1 − pj h/2 ≥ 0,

1 + pj h/2 ≥ 0 ∀j

Como adem´s, tenemos que q > 0, por hip´tesis (lo supon´
a
o
ıamos al principio del tema,
parapoder asegurar que el problema de contorno tiene soluci´n), llegamos a que
o
|1 + pj h/2| + |1 − pj h/2| = 1 + pj h/2 + 1 − pj h/2 = 2
y
|2 + h2 qj | > 2 (pues qj > 0).
Por lo tanto, la matriz del sistema es estrictamente diagonal dominante. Entonces, podemos aplicar los m´todos iterativos de Jacobi y Gaus-Seidel para resolver el sistema lineal
e
(no os parece apasionante, como justo la...