Diferencias Finitas

Diferencias finitas.
Considérese una función y= f(x) definida en forma tabular, para la que se desconoce a expresión analítica de f(x). Supóngase que para los valores todos ellos igualmenteespaciados entre sí (incremento de h), de la variable independiente de x, se conocen los correspondientes valores de la variable dependiente y. Los valores anteriores pueden arreglarse como se muestra en lasiguiente tabla, que es la que define a la función considerada.












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Se llama primeras diferencias hacia delante, a las diferencias entre dos valores consecutivos de y. En latabla anterior las primeras diferencias hacia delante son



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Que se representan con
Las diferencias de las primeras diferencias se llaman segundas diferencias hacia delante y valen:



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Quese representan con
Las diferencias de las segundas diferencias son las terceras diferencias hacia delante, , y son:



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Siguiendo este proceso se definen las cuartas, quintas, etc.Diferencias hacia adelante. Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias, es donde cada diferencia se indica entre los dos elementos que la producen.
Aparentemente, se tiene laimpresión de que el proceso de determinar diferencias es infinito, pero un ejemplo mostrará que no lo es para el caso de los polinomios.
Sea la función . Los valores de esta para
y , son:


Tabla dediferencias





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Las primeras diferencias hacia adelante valen:

Y las segundas diferencias son:

Como las segundas diferenciashacia adelante son constantes (no dependen de k) e iguales entre sí, las terceras y subsiguientes valdrán cero, y aquí se termina el proceso. En este ejemplo se ve que, en un polinomio de grado dos, sellega hasta las diferencias de orden dosM estas segundas diferencias son iguales entre sí y las de orden superior son nulas. Una consecuencia lógica es pensar que el grado de desarrollo de las...