dinamica

Unidad 3
ii). Din´mica del Cuerpo R´
a
ıgido
Auf dieser Welt der Erscheinung
ist weder wahrer Gewinn
noch wahrer Verlust moeglich

Schoppenhauer

3.1

Cuerpos R´
ıgidos

Definimos como cuerpo r´
ıgido a un sistema de muchas part´
ıculas cuyas distancias entre DEF.
cualesquier dos de ellas permanecen constantes. Esto es, si la magnitud del vector rij , que
une a las part´
ıculasi y j para toda i, j = 1, · · ·, N , permanece constante como funci´n del
o
tiempo
|rij | = constante,

(3.1)

Esto implica entre otras cosas que la fuerza neta interna Fint se anula y por tanto, el
momento del centro de masas pCM se conserva siempre que la fuerza neta externa sea nula.
En la definici´n anterior de cuerpo r´
o
ıgido, estamos suponiedo que se trata de objetos
formadospor part´
ıculas puntuales, la cual es una visi´n muy idealizada, a´n en un modo
u
elo atom´
ıstico. En la pr´ctica resulta m´s adecuado pensar que un cuerpo r´
a
a
ıgido es una
distribuci´n cont´nua de masa. Ahora es conveniente pensar, como es usual en el C´lculo
o
ı
a
Diferencial e Integral, que dichas distribuciones cont´
ınuas pueden imaginarse como constituidas por un sinfin deelementos diferenciales de volumen
dV = dx dy dz,

(3.2)

con una cantidad diferencial de masa
Ach, daß ich durch diese seraphischen Seiten das Antlitz dessen nicht sehen kann, der mich liest!
Lautr´amont/Maldoror
e

1

2

“. . . das Antlitz dessen nicht sehen kann, der mich liest!”

dm = ρ(x, y, z) dV,

(3.3)

en donde ρ(x, y, z) es la densidad de masa por unidad de volumen delmaterial en
el punto (x, y, z). Para que dicha distribuci´n de masa corresponda a un cuerpo r´
o
ıgido
es necesario adicionalmente que las distancias entre cualesquier dos elementos de volumen
permanezcan constantes. El volumen total V y la masa total M estan dadas por
V =

dV,
solido

3.2

M=

ρ(x, y, z) dV.

(3.4)

solido

Din´mica Elemental del Cuerpo R´
a
ıgido

Elmovimiento del centro de masas est´ determinado mediante
a
Fext = M ac.m. .

(3.5)

Adem´s tendremos que la cantidad de movimiento total del cuerpo r´
a
ıgido ser´ igual a la
a
cantidad de movimiento del centro de masas, P = M vc.m. . Finalmente, como el trabajo
efectuado por las fuerzas internas es cero, el cambio en la energ´ cin´tica del cuerpo r´
ıa
e
ıgido
est´ dado por eltrabajo realizado por las fuerzas externas a ´l
a
e
∆Ecin = Wext .

IMP.

(3.6)

Si las fuerzas externas son adem´s de tipo conservativo y por tanto derivables de un potena
cial Uext , entonces, Wext = ∆Uext y con ello la energ´ total del cuerpo r´
ıa
ıgido
se conserva .
∆E = 0.
(3.7)

en donde definimos a la energ´ total como E ≡ Ecin + Uc.m. , siendo la energ´ poıa
ıa
DEF. tencialdel cuerpo r´
ıgido Uc.m. ≡ Uext .
El desplazamiento arbitrario de un cuerpo r´
ıgido est´ dado primero, por una traslaci´n
a
o
paralela del cuerpo en el cual el centro de masas se mueve hasta su posici´n final. Fio
nalmente mediante una rotaci´n alrededor del centro de masas se coloca al cuerpo con su
o
orientaci´n final. Para un punto cualquiera del cuerpo localizado en r y con unavelocidad
o
angular ω alrededor del centro de masas, se sigue que su velocidad est´ dada por
a
v = vc.m. + ω × r,

(3.8)

en donde v es la velocidad del punto en cuesti´n y vc.m. la velocidad del centro de masas.
o
El momento de inercia de un cuerpo r´
ıgido lo escribimos como
r × v ρ dV =

L=
V ol.

V ol.

r × vc.m. ρ dV +

r × (ω × r)ρ dV.

(3.9)

V ol.

Aqu´ reconocemos en elprimer t´rmino al momento angular del centro de masas que esı
e
cribiremos como Lc.m. . Para el segundo y ultimo t´rmino utilizamos la identidad
´
e

“Ach, daß ich durch diese seraphischen Seiten . . . ”

3

a × (b × c) = b(c · a) − c(a · b),

(3.10)

con a = c = r y b = ω, para obtener
L = Lc.m. +

ω r2 ρ dV −
V ol.

(ω · r)rρ dV.

(3.11)

V ol.

Notemos ahora que ω...