Diseños factoriales

Sección 3: Diseño Factorial

1. Diseño Factorial
En un experimento factorial se analizan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada réplica del experimento. Por ejemplo, si el factor A tiene a niveles y el factor B tiene b niveles entonces cada replica tiene ab combinaciones posibles como muestra la figura 1.

Figura 1. Combinaciones posibles para A y B.

Elefecto de un factor se define como el cambio en respuesta producido por un cambio en el nivel del factor. En algunos experimentos podemos encontrar que la diferencia en respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles del otro factor. Cuando esto ocurre se dice que hay iteración entre los factores. Como podemos ver en la figura 2 la interacción no está presente ya quecuando cambio el factor A de su nivel 1 al nivel 2 la respuesta aumenta no importando en qué nivel esté el factor B. Sin embargo, en la figura 3 podemos apreciar el comportamiento del gráfico cuando existe interacción entre los factores.

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Sección 3: Diseño Factorial

70 60

B1 B2
Respuesta

70 60 50 40 30 20 10

B1

Respuesta

50 40 30 20 10

B2 1 A 2

1

A

2

Figura2. Grafica cuando no existe interacción entre los factores.

Figura 3. Grafica cuando existe interacción entre los factores.

El factorial más pequeño es el que tiene 2 factores con 2 niveles cada uno. Las posibles combinaciones de este experimento forman los vértices de un cuadrado como se muestra en la figura anterior. Si utilizamos el método de variar un factor a la vez para explorar cadauna de las combinaciones nos encontramos que éste método es inefectivo debido a que (como se muestra en la figura 4) una de las posibles combinaciones queda sin explorar. Además, para factoriales con más de 2 factores resultaría ineficiente e inadecuado.

Figura 4. Gráfica que ilustra cuando se varía un factor a la vez en un factorial de 2 factores.

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Sección 3: Diseño Factorial Sitenemos un factorial con 3 factores cada uno con 2 niveles, las posibles combinaciones de este experimento forman los vértices de un cubo como se muestra en la figura 5. Al variar un factor a la vez solo se pueden explorar la mitad de las posibles combinaciones. En la figura 4 podemos notar los espacios vacíos de las combinaciones sin explorar.

2

Factor C
1 2

Fa ct

or B
1 1

2 Factor AFigura 5. Factorial de 3 factores ilustrando combinaciones sin explorar al utilizar el método de variar un factor a la vez.

Variar un factor a la vez resulta un método ineficiente y nunca va a llegar a su valor óptimo. Es por esto que una de las ventajas de un diseño factorial es que son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez. Además, un diseño factorial es necesario cuandopueden haber iteraciones presentes para evitar conclusiones engañosas. Finalmente, los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor a varios niveles de los otros factores, generando conclusiones válidas sobre un rango de condiciones experimentales. Los experimentos a menos dimensiones me dan más réplicas. Si tengo un experimento con tres dimensiones (A, B y C) y elimino la dimensiónC, es como si se trasladara la capa superior hacia abajo resultándome 2 datos por cada vértice del cuadrado resultante como se puede apreciar en la figura 6.

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(18)

(17)

C
(20) (21) (20)

(23) (21, 18) (20, 17)

B
(19)

Repeticiones eliminando un factor
(18)

B
(19, 20)

A

A

(18, 23)

Figura 6. Ilustración de cómo se obtienenrepeticiones cuando se elimina uno de los factores; en este ejemplo se eliminó el factor C.

La representación de ANOVA para un diseño de experimento factorial de 2 factores esta dada por el siguiente modelo:

y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ε ijk ,
donde el término (τβ) ij es el efecto de la interacción entre el factor A y el factor B, y y ijk es la respuesta observada cuando el factor A...