Distribución de Poisson







Probabilidad y estadística












Distribución de Poisson

La distribución de Poisson parte de la distribución binomial:
Cuando en una distribución binomial serealiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:
Se tiene que cumplir que:
" p" < 0,10
" p * n " < 10
La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:

El número "e" es 2,71828
" l " = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimentomultiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo)
" k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando
Propiedades del modelo de Poisson

1) Esperanza: E(X) = λ.

2) Varianza:V(X) = λ.

En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.

3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria,también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros:

X1 ~ P(λ = λ1) y X2 ~ P(λ = λ2)

y definimos Z = X1 + X2, entonces,

Z ~ P(λ = λ1 + λ2)

Este resultado seextiende inmediatamente al caso de n variables aleatorias independientes con distribución de Poisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro iguala la suma de los parámetros.
Ejemplo:
La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.

Luego,
P (x = 3) = 0,0892
Por lo tanto, laprobabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%
Otro ejemplo:
La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recien nacidos...