Distribución multinomial y distribución hipergeométrica multivariada |

[Universidad Nacional Federico Villareal] |
Distribución Multinomial y Distribución Hipergeométrica Multivariada |


FACULTAD:

CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

ESPECIALIDAD:

ESTADÍSTICA

PROFESOR:

ANNE ANICETO CAPRISTAN

INTEGRANTES:
LÓPEZ REAL FIORELLA ALEXANDRA
MÉDINA ALVITES YESSENIA QUEITH

Ciclo:
2DO

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se ve unaintroducción a la distribución multinomial.
Se trata la distribución de un vector aleatorio de frecuencias, la relación entre la dist.multinomial y esperanza, varianza y ejemplos.

Con respecto a la Multinomial Considere una población con artículos pertenecientes a k categorías distintas. Supóngase que se extrae un artículo de dicha población, y se quiere ver de qué tipo es. Podemos modelar lo anteriorpor una variable aleatoria X, que indica a que categoría pertenece el artículo. Llamemos x1, . . . , xk a las distintas categorías. Entonces X toma valores en el conjunto {x1, . . . , xk},
y definimos las probabilidades pi = P (X = xi). Es claro que
Pk es claro que

También veremos que la distribución hipergeometrica multtivariada se encaraga de ver varios sucesos todos ellos sinreemplazamiento

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
Definición:
Es una distribución de probabilidad conjunta para múltiples variables aleatorias ( discretas donde cada , dándose cuando en cada prueba ó ensayo independiente (con reposición) del E.A. interesa contar el número de exitos en cada una de la k maneras como se puede dar un atributo.
  Notación:

Este modelo se puede ver como una generalización delBinomial en el que, en lugar de tener dos posibles resultados, tenemos r resultados posibles.
Supongamos que el resultado de una determinada experiencia puede ser r valores distintos: A1, A2, ..., Ar cada uno de ellos con probabilidad p1, p2, ..., pr, respectivamente.

Si repetimos la experiencia n veces en condiciones independientes, podemos preguntarnos la probabilidad de que el suceso A1aparezca k1 veces, el suceso A2, k2 veces y así sucesivamente:

Al modelo estadístico que nos da dicha probabilidad se le denomina Multinomial, y su función de densidad viene dada por:

como se ve, el modelo Multinomial queda definido por los parámetros (n, p1, p2, ..., pr). La fórmula anterior puede deducirse de forma análoga al caso Binomial. En realidad, si tomamos r = 2 tenemos exactamente elmodelo Binomial.
Se debe destacar que este modelo es un ejemplo de distribución multivariante, es decir, de distribución conjunta de varias (r) variables aleatorias. En efecto, si definimos la variable aleatoria X1 como número de veces que se produce el suceso A1 de un total de n experiencias,  y así sucesivamente, tenemos un conjunto de r variables aleatorias discretas cuya función de densidadconjunta (valorada a la vez) viene definida por la anterior fórmula. Nótese que si consideramos cada una de estas variables Xi (i = 1, 2, ..., r) por separado, su distribución es la Binomial de parámetros n y pi.
OBSERVACION.
Si X = ( X1, …, Xk) es una variable aleatoria con distribución multinomial con parámetros n y p = (p1, …, pk), entonces:
a) La distribución marginal de cadacomponente Xi es una binomial con parámetros n y pi, luego se tiene:
E[Xi] = npi; V[Xi] = npi(1-pi), i = 1, 2, …, k
b) La covarianza de cualquier par de componentes Xi y Xj está dado por
Cov[xi, Xj] = - npipj

Características:
a)      Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.
b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de losresultados son constantes.
c)      Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.
d)      El número de repeticiones del experimento, n es constante.










Graficas:
Función de Probabilidad




Función Distribución



DISTRIBUCION MULTINOMIAL (demostración)
Sea un ensayo que tiene tres posibles resultados A1, A2, A3 con...