Distribucion De Poisson

Investigación de Operaciones II Ejercicios Procesos de Poisson
Iván Derpich Contreras

Pregunta Nº1. Una fabrica de zapatos de exportación, ha iniciado la fabricación de un lote de 1.000 pares, de diferentes modelos y números. Los tiempos de proceso en cada una de las etapas son variables aleatorias. Luego el tiempo total de fabricación del lote es también aleatorio, y como ocurre generalmenteen estos casos, los tiempos entre llegadas de pares terminadas a Envase sigue una distribución exponencial con tasa promedio de 100 pares/hora. (Envase es la última estación de la línea de fabricación). Bajo un sistema de turnos la planta trabaja 10 horas seguidas por día. Se sabe que el lote total se completará antes del término de la jornada, ya que existe capacidad suficiente en la fábrica.Sin embargo hay incertidumbre respecto a que se pueda producir congestión en envase en algún lapso del día y se quieren adelantar medidas. Por esta razón interesa saber a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 100 pares por hora?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que a 2 horas de terminar la jornada hayan llegado el 80% del lote o más? Solución: Sea X(t) : cantidad de pares de zapatos quellegan a envase en [0,t] y Sea Ti : Tiempo entre la transacción i-ésima y la transacción i-1.
∴ Ti ≈ exp(λ = 100 pares / hr )

a) P(X (1) ≥ 100 X (10) = 1000) = ?? = A El enunciado dice que se completa el número de 1000 pares al final de la jornada. Como los pares llegan con tiempos con distribución exponencial, entonces el número de pares de zapatos es un Proceso de Poisson. Se sabe que X (10)= 1.000 ∴ X (t ) está condicionado

1

Luego X (t ) ≈ Binomial (1000, p ) con p =
A = P( X (1) ≥ 100 X (10) = 1000 ) = = 1 − ∑ P[X (1) = k X (10) = 1000]
99 k =0 1000

1 = 0,1 10

k =100

∑ P[X (1) = k X (10) = 1000]

99 1000   k 1000 − k A = 1− ∑  k (0,1) (1 − 0,1)  k =0  

Esta es una respuesta correcta. El cálculo de término correspondiente a la sumatoria, es muydifícil de calcular por la cantidad de términos que deben sumarse. Por esta razón se aproximará por la distribución normal. La Varianza de la distribución de Poisson es λ y la desviación estándar es
λ = 10 pares / hora

Sea Y una distribución normal equivalente a la distribución de Poisson
Y ≈ N (µY , σ Y )

µ Y = λ = 100 pares / hr σ Y = λ = 10 pares / hr

Construyamos la variable Z normalizadaZ= X − 100 10

− 1  X − 100 99 − 100   P ≤  = P  Z ≤ 10  = Φ(− 0,1) = 0,46 10   10  

A = 1 − Φ (−0,1) = 0,54

b) P[X (8) ≥ 800 X (10) = 1000] = ?? = B

2

B=

1000

k =800

∑ P[X (8) = k X (10) = 1000] =
X (8) ≈ Binomial (1000; 8
10 )

B=

799 1000 1000    k 1000 − k  (0,8)k (1 − 0,8)1000−k = 1 − ∑  = ∑ k   k (0,8) (1 − 0,8)  k =800  k =0   1000

Utilizando la misma variable Z normalizada. Ahora la media y varianza siguientes:
µ Y = λt = 100 * 8 pares / hr = 800 pares / hr σ Y = λt = 800 = 28,28 pares / hr
 799 − 800   −1  B = 1 − Φ  = 1 − Φ  = 1 − Φ(− 0,035) = 1 − 0,4858 = 0,5141    28,28   8 * 100 

Pregunta Nº2. Un alumno de Ingeniería Industrial estaciona ilegalmente su vehículo en los alrededores de la Facultaddos veces al día por el período de una hora cada vez. La pasada de los inspectores municipales o Carabineros de Tránsito es un Proceso de Poisson con un promedio de λ pasadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que no le pasen un parte? Solución: Primero, no le dicen a que hora se estaciona, si no solamente que estaciona en dos segmentos de dos horas, lo que si sabe, es que un proceso dePoisson, por lo que, por los incrementos independientes, lo que pase en una hora, es independiente de lo que pase en el otro intervalo de tiempo. Sea N (t ) el número de partes en el intervalo [0, t ] . Si llamamos t1 = 1 , el primer intervalo de una hora, y t 2 = 1 el de la segunda hora, la probabilidad buscada es:
P ( No tener partes ) = P ( N (t1 ) = 0) ⋅ P ( N (t 2 ) = 0) = e − λ e − λ = e −2λ...