Distribucion Muestral De La Varianza (Fragmento)

Ejemplo. Un fabricante de baterías para auto garantiza que sus baterías durarán en promedio, tres años con una desviación estándar de un año. Si cinco de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4,3.0, 3.5, 4.2 años. ¿El fabricante aún está convencido de que sus baterías tienen una desviación estándar de un año? Suponga que la duración de la batería sigue una distribución normal.
Solución:Encontramos primero la varianza de la muestra:
S2 = (5)(48.26) – (15)2 = 0.815
(5) (4)
Entonces:

X2 = (4) (0.815) = 3.26
1

Es un valor de una distribución ji cuadrada con 4grados de libertad. Como 95% de los valores x2 con 4 grados de libertad caen entre 0.484 y 11.143, el valor calculado con σ2 =1 es razonable y por tanto el fabricante no tiene razón para sospechar quela desviación estándar es diferente a un año.
Grados de libertad como medición de la información muestral.
El lector puede obtener algunos conocimientos al considerar el teorema 8.4 y el corolarioque sigue del teorema 1. Sabemos que con las condiciones del teorema 1, a saber, una muestra aleatoria que se toma de una distribución normal, que la variable aleatoria
i=1n(xi- µ )2σ2
Tiene unadistribución x2 con n grados de libertad. Nótese ahora el teorema 2, que indica que con las mismas condiciones del teorema 1, la variable aleatoria
(n – 1) S2 = i=1n(xi- µ )2σ2
σ2tiene una distribución x2 con n-1 grados de libertad.


Se puede ver el teorema 2 como una indicación de que cuando no se conoce µ y se considera la distribución de
i=1n(xi- µ )2σ2
Hay un gradode libertad menos, o se pierde un grado de libertad en la estimación de µ ( es decir, cuando µ se reemplaza por x). En otras palabras, hay n grados de libertad o piezas de información independientesen la muestra aleatoria de la distribución normal. Cuando los datos(los valores en la muestra) se utilizan para calcular la media, hay 1 grado de libertad menos en la información que se utilizan...