Distribucion weibull

Fiabilidad: la distribución de Weibull
Introducción
La prevención de pérdidas o seguridad industrial aplicada con rigor científico está basada, en gran parte, en la aplicación de los métodos probabilísticos a los problemas de fallos en los procesos industriales. Todo ello se ha llevado a cabo a través de una disciplina denominada ingeniería de fiabilidad, para la cual se disponen de lasadecuadas técnicas de predicción, que han sido fundamentales para el aseguramiento de la calidad de productos y procesos. (Para recordar los conceptos básicos sobre fiabilidad se remite al lector a la NTP 316- Fiabilidad de componentes- la distribución exponencial).
La distribución de Weibull complementa a la distribución exponencial y a la normal, que son casos particulares de aquella, como veremos. Acausa de su mayor complejidad sólo se usa cuando se sabe de antemano que una de ellas es la que mejor describe la distribución de fallos o cuando se han producido muchos fallos (al menos 10) y los tiempos correspondientes no se ajustan a una distribución más simple. En general es de gran aplicación en el campo de la mecánica.
Aunque existen dos tipos de soluciones analíticas de la distribución deWeibull (método de los momentos y método de máxima verosimilitud), ninguno de los dos se suele aplicar por su complejidad. En su lugar se utiliza la resolución gráfica a base de determinar un parámetro de origen (t0). Un papel especial para gráficos, llamado papel de Weibull, hace esto posible. El procedimiento gráfico, aunque exige varios pasos y una o dos iteraciones, es relativamente directo yrequiere, a lo sumo, álgebra sencilla.
La distribución de Weibull nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de un componente clave de seguridad que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera tiempo normal de uso. El método no determina cuáles son las variables que influyen en latasa de fallos, tarea que quedará en manos del analista, pero al menos la distribución de Weibull facilitará la identificación de aquellos y su consideración, aparte de disponer de una herramienta de predicción de comportamientos. Esta metodología es útil para aquellas empresas que desarrollan programas de mantenimiento preventivo de sus instalaciones.
Características generales
Sabemos que latasa de fallos se puede escribir, en función de la fiabilidad, de la siguiente forma:

ó R (t) = exp [ - ò l (t) d t ]
siendo:
l (t) - Tasa de fallos
R (t) - Fiabilidad
F (t) - Infiabilidad o Función acumulativa de fallos
t - Tiempo
En 1951 Weibull propuso que la expresión empírica más simple que podía representar una gran variedad de datos reales podía obtenerse escribiendo :

porlo que la fiabilidad será:

siendo :
t0 - parámetro inicial de localización
h - parámetro de escala o vida característica
ß - parámetro de forma
Se ha podido demostrar que gran cantidad de representaciones de fiabilidades reales pueden ser obtenidas a través de ésta ecuación, que como se mostrará, es de muy fácil aplicación.
La distribución de Weibull se representa normalmente por lafunción acumulativa de distribución de fallos F (t):

siendo la función densidad de probabilidad:

La tasa de fallos para esta distribución es:

Las ecuaciones (1), (2) y (3) sólo se aplican para valores de (t - t0) ³ 0. Para valores de (t - t0) < 0, las funciones de densidad y la tasa de fallos valen 0. Las constantes que aparecen en las expresiones anteriores tienen una interpretaciónfísica :
* t0 es el parámetro de posición (unidad de tiempos) 0 vida mínima y define el punto de partida u origen de la distribución.
* h es el parámetro de escala, extensión de la distribución a lo largo, del eje de los tiempos. Cuando (t - t0) = h la fiabilidad viene dada por:
R (t) = exp - (1)ß = 1/exp 1ß = 1 / 2,718 = 0,368 (36,8%)
Entonces la constante representa también el tiempo,...