Distribuciones discretas


DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Distribución Binomial

La distribución binomial es unas de las distribuciones de probabilidad discreta más importantes. Recordemos que en una distribución de probabilidad discreta, la variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado en el espacio muestral del experimento. La distribución binomial tiene que ver con una clase especial deexperimento llamado experimento binomial.
Experimento Binomial
Un experimento que tiene exactamente dos posibles resultados o dos categorías de resultados conocidos como "éxito" o "fracaso".
Ejemplos 1. Experimento: Lanzar una moneda.
El experimento tiene solamente dos resultados (H, T), por lo tanto es un experimento binomial.
2. Experimento: Probando una nueva droga contra unaenfermedad.
La droga cura (éxito) o no cura (fracaso) la enfermedad. Por lo tanto es un experimento binomial.
3. Experimento: Un jugador gana si obtiene un número mayor que 4 y pierde si obtiene cualquier otro número en el lanzamiento de un dado.
Los resultados del experimento (lanzar un dado) se puede poner en una de dos categorías:
5, 6 1, 2, 3, 4
Los resultados en laprimera categoría se definen como "éxito" y los resultados en la segunda categoría se definen como "fracaso".
Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. Las características que debe cumplir una distribución de probabilidad para considerarse binomial, son:

El resultado de cada ensayo dentro del experimento se clasifica en dos categorías mutuamente excluyentes: éxito o fracaso.
Lavariable aleatoria cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos.
La probabilidad de éxito permanece igual para todos los ensayos. Lo mismo ocurre con la probabilidad de fracaso.
Los ensayos son independientes. La ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro.

La expresión matemática de este tipo de distribución es la siguiente:



Donde:

C = denota unacombinación
n = es el número de ensayos
x = es el número de éxitos
p = es la probabilidad de éxito de cada ensayo
q = probabilidad de fracaso

Un ejemplo en el que se usa la distribución binomial es el siguiente:

Cada día Aero México tiene 5 vuelos México – Colima. Supón que para cada vuelo, la probabilidad de que este se retrase es de 0.20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de losvuelos se retrase?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 vuelo se retrase?

Solución

a) La probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase es de 0.3277 ó 33%

P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x
P ( 0 ) = 5C0 (0.20)0 (1 – 0.20) 5 – 0
P ( 0 ) = (1) (1) (0.3277)
P ( 0 ) = 0.3277

b) La probabilidad de que exactamente un vuelo se retrase es de 0.4096 ó 41%

P ( X ) = nCxpx (1 – p) n – x
P ( 1 ) = 5C1 (0.20)1 (1 – 0.20) 5 – 1
P ( 1 ) = (5) (0.20) (0.4096)
P ( 1 ) = 0.4096
La distribución binomial completa para n=5, p=0.20 es la siguiente:


Número de vuelos
Con retraso (n)
Probabilidad (x)
0
0.3277
1
0.4096
2
0.2048
3
0.0512
4
0.0064
5
0.0003
Total
1

La representación gráfica de esta distribución de probabilidad sería la siguiente:Tablas de probabilidad binomial

Una distribución de probabilidad binomial es una distribución teórica, que se puede calcular mediante el uso de una fórmula. Sin embargo, los cálculos pueden ser muy tediosos. Por tal motivo existen tablas en las que se pueden consultar las probabilidades de un determinado número de éxitos para varios valores de n y de p.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON


Seutiliza cuando las probabilidades de éxito (p) son menores a 0.05 y cuando (n) es muy grande (p.e. mayor a 100).

Por lo demás tiene casi las mismas características que una distribución binomial simple. Se le conoce también como ley de los eventos improbables.







Donde:

μ = Número promedio de éxitos durante un intervalo específico

e = Constante 2.71828 (Base del sistema de...