Distribuciones importantes

Tema 5 Algunas distribuciones importantes

Tema 5

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Distribución Bernoulli
Modelo Bernoulli

Se llama experimento de Bernoulli a un experimento con las siguientes características:
1. Se realiza un experimento con dos resultados posibles: éxito y fracaso (A y A’) tal que: P(éxito)=p y P(fracaso)=1-p. 2. La repetición del experimento no altera las probabilidades de éxito y fracaso. SeaX una variable aleatoria, se dice que X es Bernoulli (anotada X ~ Bern(p)). X=1 si ocurre A y X=0 si ocurre A’. La función de probabilidad está dada por:

P( X

x)

p x (1 p)1 x ,

x

0,1

Parámetros estadísticos: E(X)=p y V(X)=p(1-p)

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Distribución Binomial
Se han estudiado numerosas distribuciones de probabilidad que “modelan” características asociadas a fenómenosque se presentan frecuentemente en la realidad. Una distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta que se usa frecuentemente es la distribución binomial. A partir de una experiencia en la que ocurre uno de dos resultados posibles: A o A’ (llamada experiencia de Bernoulli) y ante n repeticiones independientes de la misma, se define la variable binomial: X : número de veces que ocurreel resultado A (éxito) en las n repeticiones. Hipotesis de la distribucion binomial: 1.- Existen n repeticiones idénticas que conducen a uno de dos resultados: éxito o fracaso (A y A’). 2.- La probabilidad de cada resultado permanece constante de repetición en repetición. La probabilidad de uno de estos resultados, llamado éxito, se designa por p (p=P(A)). 3.- Las repeticiones son independientes.Un ejemplo de un experimento binomial es el de lanzar una moneda al aire varias veces. Sólo hay dos resultados posibles en cada tirada (o repetición de la experiencia) de la moneda: cara o sello. La probabilidad de obtener cara o sello se mantiene constante de tirada en tirada (0.5 para cada una) y las tiradas son independientes entre sí.
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Distribución Binomial cont.
Ejemplo. Supongaque 0.2 es la probabilidad de que una persona, que se conecta a un sitio específico en un centro comercial en la red internet, compre un artículo. Si el sitio tiene en un momento determinado tres personas que se han conectado, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos personas compren un artículo? Este es un ejemplo que se puede modelar por binomial, ya que: • Sólo hay dos resultadosposibles ante cada conexión a la red de una persona: compra (C) o no compra (C’). • La probabilidad de comprar o no comprar se mantiene estable, con una probabilidad histórica de ocurrencia de 0.2 y 0.8 respectivamente. • Las conexiones se consideran independientes entre sí.

Un método gráfico útil para visualizar esta situación es el diagrama de árbol que aparece en la siguiente figura:

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4Distribución Binomial cont.

Cada rama en la figura representa la conexión de una persona (recordar que se consideran tres). La regla de la multiplicación se usa para calcular la probabilidad de cada manera independiente en la que pueden ocurrir dos compras. Observar que cada manera tiene la misma probabilidad (0.032). La regla de la suma se usa después para calcular la probabilidad finalde que dos personas de tres que se conectaron al sitio realicen una compra (0.096). Tema 5 5

Distribución Binomial cont.
La primera parte de este cálculo indica el número de maneras ( 3 ) en las que puede ocurrir el resultado deseado ( dos personas compran un artículo) . El segundo cálculo ( 0.2 x 0.2 x 0.8 ) indica la probabilidad de lograr este resultado usando una de las trayectoriasposibles en el diagrama. El resultado final (0.096) es la probabilidad de que al conectarse tres personas al sitio, dos compren un artículo. Este cálculo requiere la fórmula binomial. En general, siendo: X : número de veces que ocurre el resultado A en las n repeticiones.

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Distribución Binomial cont.
En el ejemplo de la conexión en la red al sitio de un centro comercial, la...