Ecuación de una onda para una partícula en caja

2d) La partícula en una caja: Como un ejemplo de la descripción mecano-cuántica de la materia, resolveremos el problema más sencillo, que es el movimiento de una partícula confinada en una caja de paredes impenetrables. Este ejemplo nos permitirá examinar las propiedades de una función de ondas simple y ver cómo se obtienen las energías cuantizadas. “Nos permite resolver la ecuación deSchrödinger de una manera sencilla”: Apuntes Química Gral. 1º Farmacia. Consideremos una partícula de masa m que se mueve con una energía total positiva E a lo largo de la coordenada x (consideramos sólo una dirección, si bien una partícula en una caja se puede mover en las tres direcciones). Una pared impenetrable se encuentra en x= 0 y otra en x = L. Para 0 ≤ x ≤ L la E potencial V es cero y fuera de estoslímites se toma como infinita. La ecuación de Schrödinger monodimensional es: − h2 d 2Ψ + VΨ = EΨ , donde ħ = h/2π. Como dentro de la caja V= 0, se puede 2m dx 2 d 2 Ψ − 2mE escribir: = Ψ. dx 2 h2 De las características cualitativas de esta función podemos obtener una idea de lo que d 2Ψ debe ser nuestra función de onda ψ. La segunda derivada de una función es la dx 2 curvatura de la función.Como m, E y ħ son cantidades positivas, la ecuación de Schrödinger indica que cada vez que la función es positiva, su curvatura es negativa o sea, que ψ es cóncava hacia abajo y viceversa, cada vez que ψ es negativa, la función es cóncava hacia arriba. Cada vez que ψ es cero, su curvatura es cero. (no sé dibujar la función, me sale al revés). El dibujo de una función con esas propiedades de curvaturase parece a una onda. Existen muchas funciones con esa apariencia, y la más simple es la función seno, que es, de hecho, la solución de la ecuación de Schrödinger para la partícula en la caja. Para comprobar esto último, suponemos que ψ = A sen bx, donde A y b son constantes. Diferenciando dos veces: dψ = Ab cos bx dx

d 2ψ = − Ab 2 senbx = −b 2ψ 2 dx
Vemos que esta segunda ecuación tieneexactamente la misma forma que la ec. de Schrödinger para la partícula en la caja y sería idéntica a ella si b2= 2mE/ħ2. En consecuencia, la función que satisface la ec de Schrödinger para la partícula en la caja es 2mE 1 / 2 Ψ = A·sen ( ) x h
Hay que notar que los valores de la Energía pueden ser cualesquiera, no hay ninguna indicación de que la E esté cuantizada. Esto es porque aún no hemosconsiderado los efectos de las paredes de la caja. La función de ondas que hemos encontrado se aplica a una partícula libre. Los niveles de E cuantizados sólo existen cuando confinamos una

partícula por medio de barreras de E potencial o cuando, de alguna manera, hacemos que su movimiento sea periódico. Consideremos ahora las consecuencias de las paredes de la caja. Si el cuadrado de la función deonda representa la probabilidad de encontrar la partícula en un punto, es razonable pensar que la función de onda desaparece en las paredes de la caja: ψ (0) = 0 ψ (L) = 0 Estos dos requerimientos se denominan condiciones límite del problema. La primera CL se satisface inmediatamente, pues al hacer x = 0, sen 0 = 0 y ψ = 0. Para satisfacer la 2ª CL, es necesario que E tenga sólo ciertos valores, quese pueden deducir recordando que sen nπ = 0, siendo n un entero: 2mE 1 / 2 ( ) L = nπ h donde n = 1, 2, 3, … n 2h 2 E= 8mL2

Estos son los valores permitidos o cuatizados de la E. Es interesante notar que los niveles de E cuantizados se pueden obtener si afirmamos que nuestra función de onda debe tener la forma de una onda estacionaria entre x= 0 y x = L, es decir, que debe tener amplitud ceroen las paredes, y para que esto sea verdad, la distancia L debe ser un múltiplo entero de la mitad de la longitud de onda: L = nλ/2, donde n =1, 2, 3,… Usando la ecuación de de Broglie λ =h/p y teniendo en cuenta que toda la E dentro de la caja es cinética porque la V = 0, obtenemos tb la expresión para los niveles permitidos de E de la partícula dentro de la caja: L= n h nh , mv = 2 mv 2L , E=...