Ecuación del calor aplicado a una placa

Ecuaci´n del calor aplicada a una placa
Resumen
Con el fin de realizar una simulaci´n sobre la variaci´n de la tempeo
o
ratura en una placa, se hizo uso de la ecuaci´n del calor y del m´todo de
o
e
diferenciales finitas, para poder visualizar el cambio de temperatura que
se produce en las diferentes zonas en una placa, para esto se utiliz´ el
o
software MATLAB.

1.
1.1.

Introducci´no
Ecuaci´n del calor
o

La ecuaci´n del calor es una importante ecuaci´n diferencial en derivadas
o
o
parciales que describe la distribuci´n del calor (o variaciones de la temperatura)
o
en una regi´n a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de una funci´n
o
o
de tres variables en el espacio (x,y,z) y la variable temporal t, la ecuaci´n del
o
calor es:
∂T
∂2T
∂2T
∂2T− α( 2 +
+
)
(1)
2
∂t
∂x
∂y
∂z 2
donde α es la difusividad t´rmica, que es una propiedad del material. La ecuaci´n
e
o
del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de
la ciencia. En la estad´
ıstica, la ecuaci´n del calor est´ vinculada con el estudio
o
a
del movimiento browniano a trav´s de la ecuaci´n de Fokker Planck. La ecuaci´n
e
o
o
dedifusi´n, es una versi´n m´s general de la ecuaci´n del calor, y se relaciona
o
o
a
o
principalmente con el estudio de procesos de difusi´n qu´
o
ımica.[1]

1.2.

MATLAB

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, ”laboratorio de matrices”)
es un software matem´tico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE)
a
con un lenguaje de programaci´n propio (lenguaje M). Est´ disponiblepara
o
a
las plataformas Unix, Windows y Mac OS X. Entre sus prestaciones b´sicas se
a
hallan: la manipulaci´n de matrices, la representaci´n de datos y funciones, la
o
o

1

implementaci´n de algoritmos, la creaci´n de interfaces de usuario (GUI) y la
o
o
comunicaci´n con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardwao
re. El paquete MATLAB dispone de dosherramientas adicionales que expanden
sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulaci´n multidominio) y
o
GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). Adem´s, se pueden ampliar
a
las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las
de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets). Es un software muy usado en universidades y centros de investigaci´n y desarrollo.En los ultimos aos
o
´
ha aumentado el n´mero de prestaciones, como la de programar directamente
u
procesadores digitales de se˜al o crear c´digo VHDL. [2]
n
o

1.3.

Diferencia finita

Una diferencia finita es una expresi´n matem´tica de la forma f(x + b)
o
a
- f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b - a se obtiene una expresi´n
o
similar al cociente diferencial, quedifiere en que se emplean cantidades finitas en
lugar de infinitesimales. La aproximaci´n de las derivadas por diferencias finitas
o
desempea un papel central en los m´todos de diferencias finitas del an´lisis
e
a
num´rico para la resoluci´n de ecuaciones diferenciales.[3]
e
o

2.

Programa

clc
clear
t1=5000;t2=0;t3=0;t4=0;tc=21;
u=zeros(14,8);
L=0.03;u(:,1)=t3;u(:,14)=t4;u(1,2:7)=t1;u(14,2:7)=t2;
u(4,3:6)=tc;u(5,3:6)=tc;u(5:11,6)=tc;u(5:11,5)=tc;u(7,3:6)=tc;u(8,3:6)=tc;
u(10,3:6)=tc;u(11,3:6)=tc;
axis([0 8 0 15])
axis ’square’
set(gca,’nextplot’,’replacechildren’);
for j=1:1000
a1=(L*(u(3,2)+u(1,2)+u(2,3)+u(2,1)))+((1-(4*L))*u(2,2));
a2=(L*(u(3,3)+u(1,3)+u(2,4)+u(2,2)))+((1-(4*L))*u(2,3));
a3=(L*(u(3,4)+u(1,4)+u(2,5)+u(2,3)))+((1-(4*L))*u(2,4));a4=(L*(u(3,5)+u(1,5)+u(2,6)+u(2,4)))+((1-(4*L))*u(2,5));
a5=(L*(u(3,6)+u(1,6)+u(2,7)+u(2,5)))+((1-(4*L))*u(2,6));
a6=(L*(u(3,7)+u(1,7)+u(2,8)+u(2,6)))+((1-(4*L))*u(2,7));
a7=(L*(u(4,2)+u(2,2)+u(3,3)+u(3,1)))+((1-(4*L))*u(3,2));
a8=(L*(u(4,3)+u(2,3)+u(3,4)+u(3,2)))+((1-(4*L))*u(3,3));
a9=(L*(u(4,4)+u(2,4)+u(3,5)+u(3,3)))+((1-(4*L))*u(3,4));

2

a10=(L*(u(4,5)+u(2,5)+u(3,6)+u(3,4)))+((1-(4*L))*u(3,5));...