Ecuacion de calor

INTRODUCCION:
La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807―en su memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos.
En ella proponía además el germen de lo que pasaría a ser la Teoría de las Series de Fourier.
Tan controvertida fue esta última, que tomó quince años, hasta 1822, para que la Academia de Ciencias decidiese publicarla.
QUE ES:
La ecuación del calor es unmodelo matemático (quizás el más sencillo) que trata de describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido.
CAMPOS EN LOS QUE SE EMPLEA:
La ecuación del calor es de importancia fundamental en campos científicos diversos. Enmatemáticas, es el prototípo de ecuación diferencial parcial parabólica. En estadística, la ecuación del calor está conectada con el estudio de Movimiento browniano;la ecuación de la difusión, una versión más general de la ecuación del calor, se presenta con respecto al estudio de la difusión química y de otros procesos relacionados.
QUE DESCRIBE:
La ecuación del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramasde la ciencia. En las matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estadística está relacionada con los procesos aleatorios. Por otro lado, en el campo de la química nos predice, entre otros procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a 0º y otro a 100º, rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambosserá de 50º.
DE DONDE SE LA OBTIENE:
Esta ecuación se la obtiene de la forma general de una ecuación de derivadas parciales lineal y de segundo orden (EDP) con 2 variables independientes X e Y.
Si “U” representa la variable dependiente Y; y “X” e “Y” representan las variables independientes, entonces tenemos que:

donde A,B,C,...,G son funciones de x e y.
Cuando G(x,y) = 0, se dice que laecuación es homogénea; en caso contrario se dice que es no homogénea.
Ejemplo::
= 0 Ecuación homogénea
=xy Ecuación no homogénea
Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempeñan un papel importante en Ingeniería son las siguientes.
1. Ecuación bidimensional de Laplace

2.. Ecuación unidimensional de onda

3. Ecuación unidimensional del calorEn esta investigación vamos a centrarnos solamente en la ecuación del calor ya que es el tema que nos corresponde analizar en la cual no vamos a deducir la forma en que se obtuvo, sino únicamente en cómo se la resuelve para poder aplicarlas en los problemas propuestos.
Para resolverla vamos a aplicar un procedimiento general conocido como método de separación de variables, el cual vimos durantelas horas de clase en la materia de matemática avanzada, aquí lo más importante respecto a dicho método.
METODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES:
Este método busca una solución particular en forma de un producto de una función de “x”, una función de “y”, como U(x,y)= X(x). Y(y)
A veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales lineal con 2 variables en 2 ecuaciones ordinarias.
Parahacerlo notemos que:


DONDE: X`derivación ordinaria ; Y`derivación ordinaria
De esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta técnica para la ecuación del calor.
Ecuación del calor
La ecuación unidimensional del calor es el modelo de variación de la temperatura usegúnla posición xy el tiempo ten una varilla calentada de longitud Ly de temperatura inicial f(x)que se extiende a lo largo del eje xy cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. Si
El flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje x.
No se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla.
No se genera calor en la varilla.
la...