Ecuacion de calor

Solución a la ecuación de Calor:

Sujeta a las siguientes condiciones




Utilizando la ecuación auxiliar para resolver la ecuación de calor


Caso I.
Derivando y sustituyendo en laecuación de onda nos queda:

Separado las variables e igualando a obtenemos

Así podemos separar las variables en términos de y resolvemos:

Las solucionesson:


Comenzamos aplicando las condiciones de frontera, primero con (1)


Como T(t) no puede ser cero ya que no cumpliría la condición inicial (3) solo X´(x) puede sercero

no puede ser cero por el caso I y II
K= no puede ser cero porque k>0
Por lo tanto las constantes solo pueden valer cero. Si despejamos obtenemos:

c1=C2
Ahora sustituimos estevalor en la ecuación (A):

Aplicamos (2) a (A.1)



También debe cumplir (3)

Si despejamos a C2 obtenemos


La ultima ecuación no se puede cumplir ya que una función exponencial solo puedevaler 1 cuando x=0 y como tenemos variables que numéricamente hablando no son cero el caso I nos da una solución trivial.





Caso II.
Derivando y sustituyendo en la ecuación de onda nosqueda:

Separado las variables e igualando a obtenemos

Así podemos separar las variables en términos de y resolvemos:

Las soluciones son:Comenzamos aplicando las condiciones de frontera, primero con (1)


Como T(t) no puede ser cero ya que no cumpliría la condición inicial (3) solo X´(x) puede ser cero

Por lo tantoc1=0
Ahora sustituimos este valor en la ecuación (B):

Aplicamos (2) a (B.1)



También debe cumplir (3)

No podemos evaluar esta ecuación en (L) sin embargo si se cumple la condición (2)Por lo cual

Renombrando a las constantes se obtiene:


Ahora aplicamos la condición inicial (3)


Como podemos ver tampoco podemos evaluar en 0 sin embargo se cumple la condición inicial...