Ecuacion De Calor

Ecuaci´n de calor en estado
o
estacionario
S. Salinas
Universidad Privada Boliviana
Departamento de Ingenier´
ıa
5 de noviembre de 2012
Resumen
Mediante el uso de la ecuaci´n del calor, que en base a las derio
vadas parciales describe la distribuci´n del calor en este caso sobre
o
una placa, se har´ un programa mediante el cual se distribuir´n las
a
a
temperaturas en la mismaresolviendo un sistema de ecuaciones con
algunas condiciones iniciales previamente dadas, as´ se comprobar´ la
ı
a
utilidad de la ecuaci´n de calor sobre la placa y se ver´ una posible
o
a
simulaci´n de la misma.
o

1.
1.1.

Introducci´n
o
Ecuaci´n del calor
o

La ecuaci´n del calor predice que si un cuerpo a una temperatura T se
o
sumerge en una caja con agua a menortemperatura, la temperatura del
cuerpo disminuir´, y finalmente (te´ricamente despu´s de un tiempo infinito,
a
o
e
y siempre que no existan fuentes de calor externas) la temperatura del cuerpo
y la del agua ser´n iguales (estar´n en equilibrio t´rmico).
a
a
e
La ecuaci´n del calor es una importante ecuaci´n diferencial en derivadas
o
o
parciales que describe la distribuci´n del calor (ovariaciones de la tempeo
ratura) en una regi´n a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de
o
una funci´n de tres variables en el espacio (x,y,z) y la variable temporal t, la
o
1

ecuaci´n del calor es
o
∂T
∂2T
∂2T
∂2T
−α
+ 2+ 2
∂t
∂x2
∂y
∂z

=0

(1)

La ecuaci´n del calor es de una importancia fundamental en numerosos
o
y diversos campos de la ciencia. En lasmatem´ticas, son las ecuaciones paa
rab´licas en derivadas parciales por antonomasia. En la estad´
o
ıstica, la ecuaci´n del calor est´ vinculada con el estudio del movimiento browniano a trav´s
o
a
e
de la ecuaci´n de FokkerPlanck. La ecuaci´n de difusi´n, es una versi´n m´s
o
o
o
o
a
general de la ecuaci´n del calor, y se relaciona principalmente con el estudio
o
de procesos dedifusi´n qu´
o
ımica.

2.

Objetivo

El experimento trata sobre introducir el pen´ ltimo n´ mero del c´digo de
u
u
o
alumno mediante placas a una temperatura dada por el ultimo n´ mero del
´
u
mismo c´digo, adem´s tenemos como dato las temperaturas de los costados y
o
a
mediante un sistema de ecuaciones, la ecuaci´n de calor y el uso del programa
o
MATLAB se determinar´n los posiblesvalores de los extremos (superior e
a
inferior) para que un punto dado en la placa tenga el valor de -10C y mediante
matrices resolver el resto de la placa para obtener las temperaturas que se
obtendr´n en toda la placa y asi hacer una simulaci´n de lo que posiblemnte
a
o
podr´ llegar a suceder.
ıa

3.

Programa

FIL=14;
COL=8;
tn=4;
ta=21;
tb=32;
syms c d
syms x11
syms x21syms x31
syms x41

x12
x22
x32
x42

x13
x27
x37
x44

x14 x15 x16 x17 x18 x19 x10 x111 x112
x211 x212
x311 x312
x47 x48 x411 x412
2

syms x51 x52 x54 x511 x512
syms x61 x62 x63 x64 x65 x66 x67 x68 x69 x610 x611 x612
%matriz=zeros(FIL,COL)
%Matriz inicial con el penultimo numero de mi codigo con una temperatura
%del ultimo numero de mi codigo y valores a los lados de losdos primeros
%numero y los dos segundos....
matriz=[ta,c,c,c,c,c,c,tb;ta,x112,x212,x312,x412,x512,x612,tb;ta
,x111,x211,x311,x411,x511,x611,tb;ta,x10,tn,tn,tn,tn,x610,tb;ta,
x19,tn,tn,4,tn,x69,tb;ta,x18,tn,tn,x48,tn,x68,tb;ta,x17,x27,x37,
x47,tn,x67,tb;ta,x16,tn,tn,tn,tn,x66,tb;ta,x15,tn,tn,tn,tn,x65,tb;
ta,x14,tn,tn,x44,x54,x64,tb;ta,x13,tn,tn,tn,tn,x63,tb;ta,x12,x22,x32,x42,x52,x62,tb;ta,x11,x21,x31,x41,x51,x61,tb;ta,d,d,d,d,d,d,tb]
%Sistema de ecuaciones de 46 ecuaciones con 46 incognitas en matriz
%para luego resolverla
a=[-4,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
1,-4,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,1,-4,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...