ECUACION DIFERENCIAL DE LEGENDRE
Páginas: 2 (272 palabras)
Publicado: 1 de marzo de 2016
ECUACION DIFERENCIAL DE LEGENDRE
(1-x2) y - 2 x y + n (n + 1) y = 0, {x0 = 0 (ordinario); n, número entero positivo)}
y(x) = ∑∞
y(x) =∑∞
() = ∑∞
−
; y(x) = ∑∞
[1]
( − 1)
Sustituyendo en [1]:
∑∞
( − 1)
- ∑∞
( − 1)
-2 ∑∞
+ n(n+1) ∑∞
=0Fusionando las tres últimas, corriendo el índice λ λ+2 en la primera y haciendo que todas comiencen
la sumación en λ = 0:
∑∞
( + 1)( + 2)
- ∑∞
( −)( +
+ 1)
=0
∞
[( + 1)( + 2)
[( + 1)( + 2)
=
(
)(
(
=0 a2
=1
=2
=3
)(
)
)
− ( − )( +
− ( − )(+
+ 1)
+ 1)
]
]
=0
=0
(fórmula de recurrencia de los coeficientes)
n(n 1)
a0
2!
(n 1)(n 2)
a1
3!
(n 2)n(n 1)(n 3)
a4
a04!
(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)
a5
a1
5!
a3
(…)
y(x) = a0 y1(x) + a1 y2(x)
n(n 1) 2 (n 2)n(n 1)(n 3) 4
x
x ...
2!
4!
(n 1)(n 2) 3(n 3)(n 1)(n 2)(n 4) 5
y2(x) = x
x
x ...
3!
5!
y1(x) = 1
1
Cambio de notación: a0 C1 , a1 C2 ,
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x)
n par:
y1(x) = polinomio de grado n (polinomio de Legendre)
y2(x) = serie infinita
n impar :
y1(x) = serie infinita
y2(x) = polinomio de grado n (polinomiode Legendre)
Polinomios de Legendre:
P0(x) = 1
P1(x) = x
P2(x) = (1/2) (3 x2 – 1)
P4(x) = (1/8) (35 x4 – 30 x2 +3)
P3(x) = (1/2) (5 x3 – 3 x)
P5(x) =(1/8) (63 x5 – 70 x3 + 15 x)
Fórmula generatriz de los polinomios de Legendre:
Pn (x) =
!
[(
− 1) ]
n 0 (fórmula de Rodrigues)
2
(1-x2) y - 2 x y + n (n + 1) y = 0, {x0 = 0 (ordinario); n, número entero positivo)}
y(x) = ∑∞
y(x) =∑∞
() = ∑∞
−
; y(x) = ∑∞
[1]
( − 1)
Sustituyendo en [1]:
∑∞
( − 1)
- ∑∞
( − 1)
-2 ∑∞
+ n(n+1) ∑∞
=0Fusionando las tres últimas, corriendo el índice λ λ+2 en la primera y haciendo que todas comiencen
la sumación en λ = 0:
∑∞
( + 1)( + 2)
- ∑∞
( −)( +
+ 1)
=0
∞
[( + 1)( + 2)
[( + 1)( + 2)
=
(
)(
(
=0 a2
=1
=2
=3
)(
)
)
− ( − )( +
− ( − )(+
+ 1)
+ 1)
]
]
=0
=0
(fórmula de recurrencia de los coeficientes)
n(n 1)
a0
2!
(n 1)(n 2)
a1
3!
(n 2)n(n 1)(n 3)
a4
a04!
(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)
a5
a1
5!
a3
(…)
y(x) = a0 y1(x) + a1 y2(x)
n(n 1) 2 (n 2)n(n 1)(n 3) 4
x
x ...
2!
4!
(n 1)(n 2) 3(n 3)(n 1)(n 2)(n 4) 5
y2(x) = x
x
x ...
3!
5!
y1(x) = 1
1
Cambio de notación: a0 C1 , a1 C2 ,
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x)
n par:
y1(x) = polinomio de grado n (polinomio de Legendre)
y2(x) = serie infinita
n impar :
y1(x) = serie infinita
y2(x) = polinomio de grado n (polinomiode Legendre)
Polinomios de Legendre:
P0(x) = 1
P1(x) = x
P2(x) = (1/2) (3 x2 – 1)
P4(x) = (1/8) (35 x4 – 30 x2 +3)
P3(x) = (1/2) (5 x3 – 3 x)
P5(x) =(1/8) (63 x5 – 70 x3 + 15 x)
Fórmula generatriz de los polinomios de Legendre:
Pn (x) =
!
[(
− 1) ]
n 0 (fórmula de Rodrigues)
2
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.