Ecuaciones Con Radicales

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Ecuaciones con Radicales
Usaremos la siguiente propiedad para resolver estas ecuaciones: Cualquier ra´z de una ecuaci´ n dada, puede ser tambi´ n ra´z de otra ecuaci´ n que se obtenga al ı o e ı o igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuaci´ n propuesta. o Empero, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuaci´ n, se obtienen valores para la inc´gnita que o o pueden resultar incorrectos para la ecuaci´ n original, tales valores se llaman ra´ces extra˜ as de la ecuaci´ n. o ı n o Esto debido a que los radicales de ´ndice par presentan problemas de indefinici´ n con subradicales negaı o tivos. Para resolver una ecuaci´ n que comprende radicales se efect´ an los siguientes pasos: o u 1. Se deja en uno de los miembros un solo radical,trasladando al otro miembro los dem´ s t´ rminos. a e 2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuaci´ n obtenida y se igualan entre si o (depende del ´ndice de la ra´z involucrada). ı ı 3. Si la ecuaci´ n obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene o uno o m´ s radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuaci´ n sin radicales.Luego se a o ´ resuelve esta ultima ecuaci´ n. o 4. Se sustituyen en la ecuaci´ n original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las o ra´ces extra˜ as. ı n El proceso de liberar la ecuaci´ n de radicales se conoce con el nombre de racionalizaci´ n de la ecuaci´ n. o o o

Ejemplo 1. Resolver: Soluci´ n. o √ ( x + 3)2 = (4)2 x+3=16 x=16-3 x=13 elevando ambos miembros alcuadrado, eliminando el radical con el cuadrado, restando 3 a ambos lados de la ecuaci´ n, o posible soluci´ n. o √ x+3=4

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Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez a a

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Al sustituir x=13 en la ecuaci´ n original para chequear si es una ra´z extra˜ a o no, nos o ı n √ percatamos que 13 + 3=4, es correcta. Por tanto.

S = {13} Ejemplo 2. Resolver:Soluci´ n. o √ ( 2x2 − 1)2 = (x)2 2x2 − 1 = x2 2x2 − x2 = 1 x2 = 1 x = ±1 elevando ambos miembros al cuadrado, eliminando el radical con el cuadrado, transponiendo t´ rminos, e restando los coeficientes de los cuadrados posibles 2 soluciones. √ 2x2 − 1 =x

Si sustituimos x=− 1 en la ecuaci´ n original, obtenemos o 2(−1)2 − 1 = (− 1) Claramente se observa que el miembro derecho de esta ecuaci´ n no puedeser negativo, o √ 1 =− 1. Se descarta − 1 por ser una ra´z extra˜ a y se acepta solamente x=1. ı n S = {1} Ejemplo 3. Resolver: Soluci´ n. o √ 4x2 − 15 =2x-1, despejando el radical en el lado izquierdo √ 4x2 − 15 − 2x =-1

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√ ( 4x2 − 15)2 = (2x − 1)2 , 4x2 − 15 = (2x − 1)2 , 4x2 − 15 = 4x2 − 4x + 1 −15 = −4x + 1 4x=1+15 4x=16 x= 16 4 x=4 pasando a dividir,posible soluci´ n. o

elevando ambos miembros al cuadrado, eliminando el radical con el cuadrado, desarrollando el binomio de la derecha cancelando t´ rminos a ambos miembros, e

transponiendo t´ rminos, e

Al sustituir el x=4 en la ecuaci´ n original se tiene: o √ √ √ √ 4 · 42 − 15 − 2 · 4 =-1 4 · 16 − 15 − 8 =-1 64 − 15 − 8 =-1 49 − 8 =-1

7-8=-1. La cual es correcta, y se toma como soluci´n: S = {4}. o Ejemplo 4. Resolver: Soluci´ n. o √ x+4=5− √ x−1 aislando un radical, elevando al cuadrado, desarrollando la segundo f´ rmula o √ x+4+ √ x − 1 =5

√ √ ( x + 4)2 = (5 − x − 1)2 √ √ x + 4 = 25 − 2 · 5 x − 1 + ( x − 1)2

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notable, √ x + 4 = 25 − 10 x − 1 + x − 1 √ x + 4 − 25 − x + 1 = −10 x − 1 √ −20 = −10 x − 1 √ 20 = 10 x − 1 2= √ x−1 elevando alcuadrado a ambos lados, haciendo c´ lculos a transponiendo t´ rminos, e

√ (2)2 = ( x − 1)2 4=x-1 x=5 Comprobando x=5, Luego, S = {5} Ejemplo 5. Resolver: Soluci´ n. o √ x+7+ √ √ x−1=2 x+2 √ x+7+ √

posible soluci´ n de la ecuaci´ n. o o √ 5+4+ √ 5 − 1 =5

√ x − 1 − 2 x + 2 =0

transponiendo t´ rminos hacia la derecha, e elevando cuadrados,

√ √ √ ( x + 7 + x − 1)2 = (2 x + 2)2

√ √ √...