Ecuaciones de segundo grado
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Publicado: 23 de agosto de 2012
Ecuación de segundo grado
Historia
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqabalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fué hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (quea veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue.
Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado:
... ax3 + bx2 +cx + d = 0
requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianostodos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.
[editar] Fórmula cuadrática
De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden serreales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática[3] a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:
x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} ,
donde el símbolo ± indica que los valores
x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} y \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}
constituyen las dos soluciones.
[editar] Discriminante
Ejemplo del signo del discriminante:■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):
\Delta = b^2 - 4ac.\,
Una ecuación cuadrática con coeficientesreales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
* Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.
* Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):
-\frac{b}{2a} . \,\!
* Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):
\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a},
donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.
[editar] Ecuación bicuadrática
Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en x^n\, es de la forma:
ax^{2n} +bx^n + c = 0 \,
con n un número natural y a distinto de cero. El casoparticular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.
[editar] Clasificación
La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]
1. Completa. Es la forma canónica:
ax^2 + bx + c = 0 \,
donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y...
Historia
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqabalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fué hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (quea veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue.
Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado:
... ax3 + bx2 +cx + d = 0
requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianostodos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.
[editar] Fórmula cuadrática
De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden serreales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática[3] a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:
x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} ,
donde el símbolo ± indica que los valores
x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} y \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}
constituyen las dos soluciones.
[editar] Discriminante
Ejemplo del signo del discriminante:■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):
\Delta = b^2 - 4ac.\,
Una ecuación cuadrática con coeficientesreales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
* Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.
* Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):
-\frac{b}{2a} . \,\!
* Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):
\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a},
donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.
[editar] Ecuación bicuadrática
Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en x^n\, es de la forma:
ax^{2n} +bx^n + c = 0 \,
con n un número natural y a distinto de cero. El casoparticular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.
[editar] Clasificación
La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]
1. Completa. Es la forma canónica:
ax^2 + bx + c = 0 \,
donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y...
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