Ecuaciones Diferenciales De 2º Orden

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Autor: Pablo Marcuzzi (Ayte 2º categoría alumno de Cálculo II)


Desarrollo de un ejemplo de sistema masa-resorte

El modelo físico consta de un resorte adosado a una masa, se planteará la ecuación diferencial que gobierna el movimiento de la misma, una vez sacado de la posición de equilibrio al resorte.
[pic]
La fuerza queinterviene en el movimiento sobre la dirección x (despreciando la fricción entre la masa m y la superficie de rozamiento) es la fuerza elástica restauradora ejercida por el resorte, cuya expresión es:

[pic]

Siendo K la rigidez del resorte y x, los desplazamientos de la masa. El signo negativo es debido a que dicha fuerza se opone al movimiento.

Utilizando la 2º ley del movimiento de Newton,podemos escribir lo siguiente:

[pic]

Pero nosotros sabemos que la aceleración la podemos expresar como la derivada segunda de los desplazamientos respecto al tiempo, es decir:

[pic]

Con lo cual encontramos la ecuación diferencial que rige al modelo físico anterior. Obsérvese que el resultado de la ecuación es cero, esto es debido a que no actúan fuerzas externas al sistema. Más adelantese tratarán con un poco más de detalle los sistemas en los cuales actúa una fuerza externa.





Resolución de la ecuación diferencial

La misma consiste en encontrar una familia de funciones que satisfagan la expresión anterior. Obsérvese que corresponde a una ecuación de segundo orden y homogénea. Luego:

[pic] (i)

Utilizando la sustitución de Euler:
[pic]


Con susrespectivas derivadas (hasta el 2º orden)

[pic] y [pic]

Reemplazando en (i)
[pic]

Sacando factor común [pic] queda

[pic] (ii)

Una función exponencial nunca puede ser cero, entonces lo único que puede anularse en la (ii) es el término dentro del paréntesis:

[pic] (iii)

La (iii) es conocida como ecuación característica y sus raíces se utilizan en lasolución de la homogénea. En este caso tenemos dos raíces:

[pic]

Como podemos observar, las raíces son complejas conjugadas de la forma a[pic]b i, siendo:

a1 = 0 ; b1 = [pic]

Luego, la solución general de la homogénea es del tipo:

[pic] (iv)

Reemplazando a1 y b1 en (iv), y llamando frecuencia natural [pic] a [pic] obtenemos:
[pic] (v)

Con lo cual obtenemos lafamilia de curvas que satisfacen a la ecuación (i)

Solución particular

Para determinar las constantes C1 y C2 debemos utilizar dos condiciones de borde (una para cada constante). Por ejemplo

• t = 0 x = A (amplitud máxima)


• t = 0 x’ = 0 (velocidad de la masa)

Reemplazando estas condiciones en (v) obtenemos:

[pic]

Derivando (v) para poder aplicar la segundacondición

[pic]

Y reemplazando los valores concluimos que [pic]

Una vez determinados los valores de las constantes, estamos en condiciones de escribir una solución particular, que de respuesta al modelo físico. La misma será:

[pic]
Esta ecuación nos da los desplazamientos que seguirá la masa en función del tiempo, llegando hasta un valor máximo de A, para luego realizar el mismomovimiento pero en sentido inverso.
Obsérvese que la función está acotada entre los valores constantes [pic]. Más adelante se verá como la función movimiento estará acotada por una exponencial.
La explicación física sería que cuando la masa se desplaza hasta el valor A, la energía potencial es máxima y corresponde al trabajo realizado por el resorte, es decir que vale [pic], siendo la energía cinéticacero. En el punto donde el resorte está en equilibrio, la energía potencial vale cero (porque justamente el resorte no realiza trabajo alguno) y la cinética alcanza su valor máximo.
Como se trata de un sistema conservativo, es decir que no hay pérdida de energía, la energía total se conserva, pero a medida que se produce el movimiento se va transformando en una y en otra sucesivamente.

[pic]...