Ecuaciones Diferenciales Matlab

Pr´
actica 2: Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales.

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Matrices en MATLAB.

El nombre MATLAB es una contracci´on de matrix laboratory, y como su nombre indica,
este paquete es especialmente u
´til para efectuar operaciones con matrices. Los valores de
los elementos de una matriz A 3 × 3 se indican mediante una sentencia de la forma:
A=[3, 2, 1 ; 0, 2, 2 ; 1, 3, 4]
donde los tres primerosn´
umeros, separados por comas (,), son los elementos de la primera
fila de la matriz. El signo punto y coma (;) indica que comienza la segunda fila, cuyos
elementos se separan de nuevo por comas, y as´ı sucesivamente. La sentencia anterior
corresponde a la matriz:


3 2 1
A=0 2 2 ,
1 3 4
como nos indica MATLAB. De la misma forma,

B=[3; 1 ; 2]
representa un vector columna (matriz 3×1) y
C=[5, 4,3]
un vector fila (matriz 1×3).
Las operaciones m´as sencillas son:
i) + : Suma de matrices.
ii) ∗ : Producto de matrices.
Veamos algunos ejemplos:
D =[4, 6, 1 ; 2, 4, 7 ; 3, 2, 5];
AMD = A + D
APD = A * D
Podemos multiplicar las matrices A(3×3) y B (3×1) definidas previamente para obtener
una nueva matriz columna (3×1)
APB = A*B
pero no es posible multiplicar A(3×3) y C (1×3), como podemoscomprobar escribiendo:
1

APC = A*C
A partir de las matrices A(3×3) y B (3×1)podemos construir una matriz de dimensiones 3×4 a˜
nadiendo B como cuarta columna de la matriz A, mediante la instrucci´on
[A B]. Comprob´emoslo escribiendo:
A
B
AB=[A B]

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Sistemas de ecuaciones lineales. M´
etodo de eliminaci´
on de Gauss

Considereremos como ejemplo el sistema de ecuaciones:
3x1 +3x2 +2x3 = 1
2x1 +x2+6x3 = 2
4x1
+x3 = 3

(1)

que puede escribirse en notaci´on matricial como:
Ax = C

(2)

con


3

A= 2
4

3
1
0


 
2
1


6
C = 2
1
3

Vamos a utilizar este sistema como ejemplo para introducir el m´etodo de eliminaci´on
de Gauss, para lo que disponemos de la rutina Gaussm. En este m´etodo se combinan
linealmente las ecuaciones hasta lograr que la matriz de coeficientes A sea una matriztriangular superior. Podemos esquematizarlo de la siguiente forma:
1. Se forma la matriz aumentada [A C] (en nuestro ejemplo una matriz 3 × 4). Escribimos:
A=[3, 3, 2 ; 2, 1, 6 ; 4, 0, 1];
C=[1 ; 2 ; 3]
x=Gaussm(A,C)
2. Pivotaje: Se permutan filas y columnas de la matriz aumentada hasta lograr que el
m´aximo elemento de la matriz A aparezca en la posici´on 1,1. (Pulsar retorno para
que continue elproceso y comprobar este segundo paso)
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3. Eliminaci´
on: Se combinan las filas de la matriz aumentada para anular los elementos
2,1 y 3,1 (Pulsar retorno para que continue el proceso y comprobar este paso)
4. Se repiten los pasos 2 y 3 para anular el elemento 3,2 , con lo que se obtiene la
matriz triangular. (volver a pulsar retorno).
5. El sistema de ecuaciones se resuelve por sustituci´on”hacia atr´as”.
El paquete MATLAB contiene la operaci´on A\ C que esencialmente es un programa
como el que hemos empleado anteriormente. Comprob´emoslo escribiendo
y=A \ C;
format long
x
y

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Ejemplo: Torres de destilaci´
on.

Se trata de separar una mezcla que contiene 30% de benceno (B) , 45% de tolueno (T)
y 25% de xileno (X). Se dispone de una torre de destilaci´on dual como la esquematizada
en lafigura. El producto extra´ıdo en la parte superior de la primera columna contiene
91.4% B, 8.30% T y 0.30% X. El producto de la segunda columna contiene 4.25% B,
91.6% T, 4.15% X. Un tercio del producto extraido en la parte inferior de la segunda
columna es reciclado en la primera columna. El fabricante especifica que la cantidad de B
en el producto de la parte superior de la primera columna es 20veces la correspondiente
al producto de la parte superior de la segunda e igual a 2 veces la cantidad de B en el
producto de la parte inferior de la segunda columna.
x1

x5

x2, x3, x4,
1/3(x6+x7+x8)

En la figura hemos llamado:
• x1 : Cantidad total extraida en la parte superior de la primera columna.
3

• x2 , x3 , x4 : cantidades de B, T y X en el producto extraido en la parte inferior...