ecuaciones diferenciales no lineales

Ecuaciones Diferenciales no lineales por método de Riccatti.
Sabemos que son pocas las ecuaciones diferenciales no lineales que pueden ser convertidas en ecuacionesdiferenciales lineales, entre las cuales destacan: la Ecuación Diferencial Bernoulli de y la de Riccatti.
Para convertir una ecuación diferencial no lineal a lineal sedebe resolver por el método de Riccatti, para luego resolverla por el método de Bernoulli.
La ecuación de Riccatti es una ecuación no lineal de la forma:

Para resolver,se de conocer una solución particular y1.
Después de conocida dicha solución se realiza la siguiente sustitución:

Para solucionar la ecuación diferencial seprocede a realizar la sustitución . 

La nueva ecuación tendrá como variable dependiente a w, pero para ello se debe despejar a "y" y encontrar la derivada con respecto a xpara hacer la sustitución. La nueva ecuación en términos de u y x será una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede solucionarse mediante el uso de un factorintegrante.Una vez solucionada esta ecuación para u se procede a hacer el cambio por su equivalente en y con lo cual la ecuación diferencial será solucionada.
Pararesolver este tipo de ecuación vamos a hacer uso de la siguiente sustitución, vamos a decir que, al hacer esta sustitución lo que vamos a hacer es convertir la ecuaciónoriginal que está en términos de y y de x a una ecuación en términos de w y de x. Veremos que una vez que tengamos la ecuación en términos de w y de x el problema se reduce aresolver una ecuación diferencial lineal de primer orden.




Demostración:

Se resuelve la ecuación por Riccatti hasta dejarla en el método de Bernoulli....