Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5
Trabaje el Ejemplo ilustrativo 3, página 194, por el método de aniquilación.
Solución. Para aniquilar el término 2 cos 2x de lado derecho de la ecuación dada
D2+2D+1y=2cos2x+ 3x+2+3ex (7)
Debemos usar el aniquilador D2+4. Similarmente, para aniquilar los términos 3x+2 y 3ex, respectivamente, debemos usar el aniquilador D2 y (D-1). El aniquiladorresultante el cual sirve para eliminar todos los términos es por tanto D2D-1(D2+4). Aplicando esto a (7) da
D2D-1D2+4D2+2D+1y=0 (8)
La solución de (8) esy=c1+c2xe-x+c3sen2x+c4cos2x+c5e-x+c6x+c7
La cual está compuesta de las soluciones complementarias y particulares de (7). De aquí el método continúa como en el Ejemplo ilustrativo 3.
EJERCICIOS A
1. Encuentre lasolución general de cada una de los siguientes:
(a)
(b) y''+y=2e3x.
(c) (D2-4)y=8x2.
(d) 4I''t+It=t2+2cos3t.
(e) (D2+2D+1)y=4sen2x.
(f) D2+4D+5y=e-x+15x.
(g) D3+4Dy=ex+senx.2. Encuentre las soluciones que satisfagan las condiciones dadas:
(a) y''+16y=5senx;y0=y'0=0.
(b) s''t-3s't+2st=8t2+12e-t; s0=0, s'0=2.

3. Demuestre el uso del método deaniquilación trabajando (a) Los Ejercicios 1 (a) – (f); (b) Los Ejercicios 2 (a) y (b); (c) El Ejemplo ilustrativo 2, pagina 193.

EJERCICIOS B
1. Resuelva y''+y=6cos2x, dado que y(0)=0, y(π/2)=0.
2.Resuelva la ecuación diferencial que surge en un problema de un circuito eléctrico:
(LD2+RD+1C)Q=E0sinωt
Donde D≡ddt; L, R,C, E0 y ω son constantes dadas y Q0=Q'0=0.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6Resuelva (D2+4)y=6sin2x+3x2.
Solución. Normalmente asumiríamos como solución particular asin2x+bcos2x correspondiente al término 6sin2x y cx2+dx+⨏ correspondiente al término 3x2. No caeremos, sin embargo,en la misma trampa como antes porque vemos que la solución particular asumida asin2x+bcos2x está contenida en la solución complementaria. Así estamos inclinados, en virtud de la experiencia...