Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias

2

Lecci´n 1
o

Introducci´n a las ecuaciones
o
diferenciales

1.1.

1.1.1.

Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingenier´
ıa
Ley de enfriamiento de Newton

Ecuaciones diferenciales aparecen muy frecuentemente en los modelos matem´ticos que
a
su usan en las ciencias aplicadas y en la ingenier´
ıa.

4

Ecuacionesdiferenciales ordinarias
A modo de ejemplo consideremos la siguiente situaci´n:
o

Figura 1.1: Ley de Enfriamiento de Newton

Ejemplo 1.1 Supongamos que queremos conocer la
evoluci´n, a lo largo del tiempo, de la temperatura
o
de una barra met´lica que ha sido calentada hasta
a
una cierta temperatura y depositada en un habit´culo
a
cerrado que se mantiene constantemente a una temperaturaconstante Ta tal y como muestra la Figura
1.1. Podemos pensar que la temperatura de dicho objeto depende de la diferencia de la temperatura del
propio objeto y la temperatura ambiente (la del habit´culo). Si la barra de hierro est´ muy caliente y el
a
a
habit´culo muy fr´ la p´rdida de calor de la barra
a
ıo
e
ser´ muy r´pida; si por el contrario las temperaturas
a
a
de la barra y delhabit´culo son casi iguales, la barra
a
perder´ calor muy lentamente.
a

Esto es lo que se deduce precisamente la ley de enfriamiento de Newton: Cuando la
diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, la
variaci´n en el tiempo del calor transferido hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducci´n,
o
o
convecci´n y/o radiaci´n es aproximadamenteproporcional a la diferencia de temperatura
o
o
entre el cuerpo y el medio externo y a la superficie del cuerpo. ¿C´mo podemos expresar esta
o
ley matem´ticamente?. Si Q(t) representa la cantidad de calor del objeto en el instante t
a
¿qu´ concepto matem´tico nos da una idea de la variaci´n del calor; es decir de la variaci´n
e
a
o
o
de la funci´n Q?. No es otro sino el de derivada. Enefecto, sabemos que la derivada de
o
una funci´n en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto a la curva que
o
representa dicha funci´n. Si la pendiente es grande la funci´n crece muy r´pidamente, y si
o
o
a
es peque˜a la funci´n apenas crece. As´ pues, la derivada de una funci´n en un punto mide
n
o
ı
o
la variaci´n de la funci´n en dicho punto y, aplicando esto a nuestrocaso, la variaci´n de la
o
o
o
dQ
funci´n calor, Q(t), en cada instante t es Q (t) = dt . La ley de enfriamiento de Newton se
o
expresa, entonces, mediante la f´rmula
o
dQ
= αA(T − Ta )
dt
donde α es el coeficiente de transmisi´n (o intercambio) de calor y A el ´rea del cuerpo.
o
a
Por otra parte, si se transfiere una peque˜a cantidad de calor, dQ, entre un sistema
n
(en nuestrocaso la barra de hierro) de masa m y su entorno y el sistema experimenta una
peque˜a variaci´n de temperatura, dT , entonces se define la capacidad calor´fica espec´
n
o
ı
ıfica,
c, del sistema (tambi´n llamada calor espec´fico) como
e
ı
c=

1 dQ
m dT

1.1 Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingenier´
ıa

5

o, equivalentemente,
dQ = mc dT.
As´ pues
ı
mc

dT
= αA(T −Ta ),
dt

o m´s simplificadamente:
a
dT
= k(T (t) − Ta )
dt
siendo k =

(1.1)

αA
una constante asociada al material y superficie de que est´ hecha la barra.
a
mc

Vemos de esta forma que la variaci´n de la temperatura del objeto es directamente proporo
cional a la diferencia de las temperaturas del objeto y el medio ambiente; ley que concuerda
completamente con nuestra intuici´ny experiencia.
o
La ecuaci´n (1.1) es nuestro primer ejemplo de una ecuaci´n diferencial: es una ecuaci´n
o
o
o
en la que aparece una funci´n inc´gnita T (t) y su derivada T (t). Aunque no es el caso de la
o
o
ecuaci´n (1.1), en las ecuaciones diferenciales tambi´n puede aparecer la variable indepeno
e
diente. As´ pues, un ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n que relaciona una...