Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

UNIVERSIDAD DE CHILE ´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ ISICAS Y MATEMATICAS ´ DEPARTAMENTO DE INGENIER´ MATEMATICA IA

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Apunte de curso

AXEL OSSES Centro de Modelamiento Matem´tico a Departamento de Ingenier´ Matem´tica ıa a axosses@dim.uchile.cl JUAN PEYPOUQUET Departamento de Ingenier´ Matem´tica ıa a jpeypou@dim.uchile.cl

Se concede permiso para imprimir oalmacenar una unica copia de este ´ documento. Salvo por las excepciones m´s abajo se˜aladas, este permiso no a n autoriza fotocopiar o reproducir copias para otro uso que no sea el personal, o distribuir o dar acceso a copias electr´nicas de este documento sin permiso o previo por escrito del Director del Departamento de Ingenier´ Matem´tiıa a ca (DIM) de la Facultad de Ciencias F´ ısicas yMatem´ticas (FCFM) de la a Universidad de Chile. Las excepciones al permiso por escrito del p´rrafo anterior son: (1) Las a copias electr´nicas disponibles bajo el dominio uchile.cl, (2) Las copias diso tribuidas por el cuerpo docente de la FCFM en el ejercicio de las funciones que le son propias. Cualquier reproducci´n parcial de este documento debe hacer referencia o a su fuente de origen. Estedocumento fue financiado a trav´s de los recursos asignados por el e DIM para la realizaci´n de actividades docentes que le son propias. o

Este texto y el material docente de ejercicios que lo acompa˜a recin bi´ aportes de los siguientes alumnos de la Facultad de Ciencias F´ o ısicas y Matem´ticas, quienes fueron profesores auxiliares del curso de Ecuaa ciones Diferenciales Ordinarias en el periodo2002−2007: Francisco Ortega, Oscar Peredo, Andre De Laire, Jorge Lemus y Nicol´s Carre˜ o. a n Los autores agradecen su valiosa colaboraci´n. o

´ Indice general
Cap´ ıtulo 1. Introducci´n o 1. Motivaci´n o 2. Definiciones b´sicas y noci´n de soluci´n de una EDO a o o 3. Los teoremas de existencia y unicidad Cap´ ıtulo 2. M´todos b´sicos para la resoluci´n de EDO e a o 1. Ecuaciones elementalesde primer orden 2. Ecuaciones que se reducen a casos elementales 3. Aproximaci´n de la soluci´n mediante m´todos num´ricos o o e e Cap´ ıtulo 3. EDO lineales de orden superior 1. La EDO lineal de orden n 2. Estudio completo de la ecuaci´n de orden dos o 3. M´s sobre la estructura de la soluci´n a o 4. EDO lineal de orden n a coeficientes constantes 5. EDO lineal de orden n a coeficientes variablesCap´ ıtulo 4. Transformada de Laplace 1. Definiciones y ejemplos 2. Propiedades b´sicas de la transformada de Laplace a 3. Antitransformadas y aplicaciones 4. Funciones y derivadas generalizadas Cap´ ıtulo 5. Sistemas lineales de primer orden 1. Introducci´n o 2. Sistemas lineales y ecuaciones de orden superior 3. Los teoremas de existencia y unicidad 4. Estructura de las soluciones 5. Resoluci´nde sistemas lineales o Cap´ ıtulo 6. An´lisis cualitativo de sistemas no lineales a 1. Sistemas no lineales y sistemas linealizados 2. Diagramas de fase y de flujo 3. Clasificaci´n de los puntos cr´ o ıticos 4. Puntos cr´ ıticos de sistemas lineales
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1 1 5 10 13 14 27 38 47 47 50 58 64 75 83 83 88 94 101 107 107 109 111 119 124 153 155 161 164 171

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´ INDICE GENERAL

5. Funciones deLiapunov y estabilidad

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CAP´ ıTULO 1

Introducci´n o
1. Motivaci´n o

A grandes rasgos, las ecuaciones diferenciales son expresiones que vinculan una funci´n con sus derivadas. Aparecen con frecuencia en o casi cualquier rama de la matem´tica aplicada y sirven para modea lar y resolver problemas en f´ ısica, ingenier´ econom´ biolog´ entre ıa, ıa, ıa, otras. Antes de entrar enformalismos, comenzaremos por comentar algunos ejemplos sencillos donde las ecuaciones diferenciales aparecen de manera natural. 1.1. Modelamiento de un problemas f´ ısico. Dos medios A y B se encuentran separados por una membrana impermeable en t = 0 0 0 0 0 con concentraciones CA y CB con CA < CB . En un instante t > 0 la membrana que los separaba se vuelve semipermeable y permite el paso del agua,...